2012　千葉大学　先進科学プログラム12月MathJax

【１】　$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+1}}$のとき，$x-{\displaystyle \frac{1}{x}}\text{，}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\text{，}{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$の値を求めなさい．

【２】　$x=1+2i$のとき，以下の式の値を求めなさい．ただし，$i$は虚数単位とする．

$x^4-4x^3+2x^2+4x-3$

【３】　${\cos }^{2}15\mathrm{°}-{\cos }^{2}75\mathrm{°}$の値を求めなさい．

【４】　赤玉と白玉の入った$3$つの箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の中から玉を$1$個取り出すとき，赤玉の出る確率は，それぞれ${\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{3}}$であるとする．各箱の中から玉を$1$個ずつ取り出すとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　赤玉が$1$個出る確率を求めなさい．

(2)　赤玉が$2$個出る確率を求めなさい．

【５】　$a>0$であり関数$f(x)$が$f(x)=x^2+ax-2a^2$と与えられているとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$y=f(x)$のグラフを描きなさい．

(2)　定積分$S={\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$を求めなさい．

(3)　(2)で求めた$S$が最大になるような$a$を求めなさい．

【６】　四面体$\mathrm{OABC}$において，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表しなさい．

(2)　次のことが成り立つことを示しなさい．

$\mathrm{OA}$と$\mathrm{BC}$が垂直ならば，${\mathrm{OC}}^2+{\mathrm{AB}}^2={\mathrm{OB}}^2+{\mathrm{AC}}^2$