2012　東京大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の点$(x,y)$が次の方程式を満たす．

$2x^2+4xy+3y^2+4x+5y-4=0$

このとき，$x$のとりうる最大の値を求めよ．

【２】　実数$t$は$0<t<1$を満たすとし，座標平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{B}(1,0)\text{，}\mathrm{C}(t,0)$を考える．また線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{D}$を$\angle \mathrm{ACO}=\angle \mathrm{BCD}$となるように定める．

　$t$を動かしたときの三角形$\mathrm{ACD}$の面積の最大値を求めよ．

【３】　図のように，正三角形を$9$つの部屋に辺で区切り，部屋$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を定める．$1$つの球が部屋$\mathrm{P}$を出発し，$1$秒ごとに，そのままその部屋にとどまることなく，辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する．球が$n$秒後に部屋$\mathrm{Q}$にある確率を求めよ．

【４】　座標平面上の放物線$C$を$y=x^2+1$で定める．$s\text{，}t$は実数とし$t<0$を満たすとする．点$(s,t)$から放物線$C$へ引いた接線を$l_1\text{，}{l}_2$とする．

(1)　$l_1\text{，}{l}_2$の方程式を求めよ．

(2)　$a$を正の実数とする．放物線$C$と直線$l_1\text{，}{l}_2$で囲まれる領域の面積が$a$となる$(s,t)$を全て求めよ．

【１】　次の連立不等式で定まる座標平面上の領域$D$を考える．

$x^2+{(y-1)}^2\leqq 1\text{，}x\geqq {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}$

直線$l$は原点を通り，$D$との共通部分が線分となるものとする．その線分の長さ$L$の最大値を求めよ．また，$L$が最大値をとるとき，$x$軸と$l$のなす角$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の余弦$\cos \theta$を求めよ．

【３】　座標平面上で$2$つの不等式

$y\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\text{，}{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+4y^2\leqq {\displaystyle \frac{1}{8}}$

によって定まる領域を$S$とする．$S$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V_1$とし，$y$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V_2$とする．

(1)　$V_1$と$V_2$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{V_2}{V_1}}$の値と$1$の大小を判定せよ．

【４】　$n$を$2$以上の整数とする．自然数（$1$以上の整数）の$n$乗になる数を$n$乗数と呼ぶことにする．以下の問いに答えよ．

(1)　連続する$2$個の自然数の積は$n$乗数でないことを示せ．

(2)　連続する$n$個の自然数の積は$n$乗数でないことを示せ．

【５】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が次の条件(D)を満たすとする．

(D)　$A$の成分$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は整数である．また，平面上の$4$点$(0,0)\text{，}(a,b)\text{，}(a+c,b+d)\text{，}(c,d)$は面積$1$の平行四辺形の$4$つの頂点をなす．

$B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　行列$BA$と$B^{-1}A$も条件(D)を満たすことを示せ．

(2)　$c=0$ならば，$A$に$B\text{，}{B}^{-1}$のどちらかを左から次々にかけることにより，$4$個の行列$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$のどれかにできることを示せ．

(3)　$|a|\geqq |c|>0$とする．$BA\text{，}{B}^{-1}A$の少なくともどちらか一方は，それを$\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$とすると

$|x|+|z|<|a|+|c|$

を満たすことを示せ．

【６】　$2\times 2$行列$P=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$に対して

$\mathrm{Tr}(P)=p+s$

と定める．

　$a\text{，}b\text{，}c$は$a\geqq b>0\text{，}0\leqq c\leqq 1$を満たす実数とする．行列$A\text{，}B\text{，}C\text{，}D$を次で定める．

$A=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}b& 0\\ 0& a\end{array}\right)\text{，}C=\left(\begin{array}{cc}{a}^c& 0\\ 0& b^c\end{array}\right)\text{，}D=\left(\begin{array}{cc}{b}^{1-c}& 0\\ 0& a^{1-c}\end{array}\right)$

また実数$x$に対し$U(x)=\left(\begin{array}{cc}\cos x& -\sin x\\ \sin x& \cos x\end{array}\right)$とする．

　このとき以下の問いに答えよ．

(1)　各実数$t$に対して，$x$の関数

$f(x)=\mathrm{Tr}(U(t)AU(-t)-B)U(x)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)U(-x))$

の最大値$m(t)$を求めよ．（ただし，最大値をとる$x$を求める必要はない．）

(2)　すべての実数$t$に対し

$2\mathrm{Tr}(U(t)CU(-t)D)\geqq Tr(U(t)AU(-t)+B)-m(t)$

が成り立つことを示せ．