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2012-10262-0101
2012 東京医科歯科大学 前期
医学科
歯・保健衛生(検査技術)学科【1】の類題
易□ 並□ 難□
【1】 数列 { an} ,{ bn } を次のように定義する.
{ a1 =5 ,b1 =3 , ( an +1 bn +1 )= ( 53 35 ) ⁢( a n bn )( n= 1, 2 ,3 ,⋯ )
また,自然数 n について c n=a n2- bn2 とおく.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) cn を n を用いて表せ.
(2) k 自然数とするとき,自然数 l について
ak+ l= ak⁢ al+ bk⁢ bl , bk+ l=b k⁢a l+a k⁢b l
が成立することを, l に関する数学的帰納法によって示せ.
(3) n>l となる自然数 n , l について
bn+ l- cl⁢ bn- l=2 ⁢an ⁢bl
が成立することを示せ.
(4) 2 以上の自然数 n について
a2⁢ n+ ∑m =1n -1 ⁡cn -m⁢ a2⁢ m= b 2⁢n+ 12 ⁢b1 - c n2
2012-10262-0102
医・歯・保健衛生(検査技術)学科
【2】 a2+ b2= 1 を満たす正の実数 a , b の組 (a ,b) の全体を S とする. S に含まれる ( a,b ) に対し, xyz 空間内に 3 点 P( a,b, b) ,Q (- a,b,b ), R (0 ,0,b ) をとる.また原点を O とする.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) 三角形 OPQ を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体を F 1 とする. (a ,b) が S の中を動くとき, F1 の体積の最大値を求めよ.
(2) 三角形 PQR を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体を F 2 とする. a=b= 1 2 のとき, F2 の x y 平面による切り口の周を x y 平面上に図示せよ.
(3) 三角形 OPR を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体を F 3 とする. (a, b) が S の中を動くとき, F3 の体積の最大値を求めよ.
2012-10262-0103
・歯・保健衛生(検査技術)学科【3】の類題
【3】 関数 f⁡ (x) =x3 -x2 +x について,以下の各問いに答えよ.
(1) f⁡( x) はつねに増加する関数であることを示せ.
(2) f⁡( x) の逆関数を g⁡ (x ) とおく. x>0 について
x3- 1<g⁡ (x )< x3+ 1
(3) b>a> 0 について
0< ∫ab ⁡ 1 x2+ 1⁢ dx < 1a
(4) 自然数 n について,(2)で定義された g ⁡(x ) を用いて
An= ∫ n2⁢ n 1{ g⁡( x)} 3+g ⁡(x ) ⁢d x
とおくとき,極限値 lim n→∞ ⁡A n を求めよ.
2012-10262-0104
歯・保健衛生(検査技術)学科
医学科【1】の類題
(3) 2 以上の自然数 n について
bn+ 1-16 ⁢bn -1= 6⁢an
(4) 自然数 n について
∑ m=1 n⁡ cn- m+1 ⁢a2 ⁢m= 83 ⁢ b2⁢ n+1 - cn+ 12
2012-10262-0105
医学科【3】の類題
(3) f⁡( x) の導関数を f ′⁡( x) とする.等式
f′⁡ (x) x3 -x = Ax+1 + Bx+ C x-1
が x についての恒等式であるとき,定数 A , B ,C を求めよ.
(4) 2 以上の自然数 n について,(2)で定義された g⁡ (x ) を用いて
An= ∫ n2⁢ n⁡ 1{ g⁡( x)} 3-g ⁡(x ) ⁢d x