2012　東京医科歯科大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を次のように定義する．

$\{\begin{array}{ll}{a}_1=5\text{，}{b}_1=3\text{，}& \\ \left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ b_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

また，自然数$n$について$c_n={a_n}^2-{b_n}^2$とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$c_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$k$自然数とするとき，自然数$l$について

$a_{k+l}=a_k{a}_l+b_k{b}_l\text{，}{b}_{k+l}=b_k{a}_l+a_k{b}_l$

が成立することを，$l$に関する数学的帰納法によって示せ．

(3)　$n>l$となる自然数$n\text{，}l$について

$b_{n+l}-c_l{b}_{n-l}=2a_n{b}_l$

が成立することを示せ．

(4)　$2$以上の自然数$n$について

$a_{2n}+{\displaystyle \sum _{m=1}^{n-1}}{c}_{n-m}{a}_{2m}={\displaystyle \frac{b_{2n+1}}{2b_1}}-{\displaystyle \frac{c_n}{2}}$

が成立することを示せ．

【２】　$a^2+b^2=1$を満たす正の実数$a\text{，}b$の組$(a,b)$の全体を$S$とする．$S$に含まれる$(a,b)$に対し，$xyz$空間内に$3$点$\mathrm{P}(a,b,b)\text{，}\mathrm{Q}(-a,b,b)\text{，}\mathrm{R}(0,0,b)$をとる．また原点を$\mathrm{O}$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{OPQ}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を$F_1$とする．$(a,b)$が$S$の中を動くとき，$F_1$の体積の最大値を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{PQR}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を$F_2$とする．$a=b={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$のとき，$F_2$の$xy$平面による切り口の周を$xy$平面上に図示せよ．

(3)　三角形$\mathrm{OPR}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を$F_3$とする．$(a,b)$が$S$の中を動くとき，$F_3$の体積の最大値を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^3-x^2+x$について，以下の各問いに答えよ．

(1)　$f(x)$はつねに増加する関数であることを示せ．

(2)　$f(x)$の逆関数を$g(x)$とおく．$x>0$について

$\sqrt[3]{x}-1<g(x)<\sqrt[3]{x}+1$

が成立することを示せ．

(3)　$b>a>0$について

$0<{\displaystyle {\int }_a^b}{\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}dx<{\displaystyle \frac{1}{a}}$

が成立することを示せ．

(4)　自然数$n$について，(2)で定義された$g(x)$を用いて

$A_n={\displaystyle {\int }_n^{2n}}{\displaystyle \frac{1}{{\{g(x)\}}^3+g(x)}}dx$

とおくとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n$を求めよ．

【１】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を次のように定義する．

$\{\begin{array}{ll}{a}_1=5\text{，}{b}_1=3\text{，}& \\ \left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ b_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

また，自然数$n$について$c_n={a_n}^2-{b_n}^2$とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$c_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$k$自然数とするとき，自然数$l$について

$a_{k+l}=a_k{a}_l+b_k{b}_l\text{，}{b}_{k+l}=b_k{a}_l+a_k{b}_l$

が成立することを，$l$に関する数学的帰納法によって示せ．

(3)　$2$以上の自然数$n$について

$b_{n+1}-16b_{n-1}=6a_n$

が成立することを示せ．

(4)　自然数$n$について

${\displaystyle \sum _{m=1}^n}{c}_{n-m+1}{a}_{2m}={\displaystyle \frac{8}{3}}{b}_{2n+1}-{\displaystyle \frac{c_{n+1}}{2}}$

が成立することを示せ．

【３】　関数$f(x)=x^3-x^2+x$について，以下の各問いに答えよ．

(1)　$f(x)$はつねに増加する関数であることを示せ．

(2)　$f(x)$の逆関数を$g(x)$とおく．$x>0$について

$\sqrt[3]{x}-1<g(x)<\sqrt[3]{x}+1$

が成立することを示せ．

(3)　$f(x)$の導関数を$f^{\prime }(x)$とする．等式

${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{x^3-x}}={\displaystyle \frac{A}{x+1}}+{\displaystyle \frac{B}{x}}+{\displaystyle \frac{C}{x-1}}$

が$x$についての恒等式であるとき，定数$A\text{，}B\text{，}C$を求めよ．

(4)　$2$以上の自然数$n$について，(2)で定義された$g(x)$を用いて

$A_n={\displaystyle {\int }_n^{2n}}{\displaystyle \frac{1}{{\{g(x)\}}^3-g(x)}}dx$

とおくとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n$を求めよ．