2012　東京学芸大学　前期MathJax

【１】　$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$の$3$つの解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とする．下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha +\beta +\gamma =-a\text{，}\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =b\text{，}\alpha \beta \gamma =-c$が成り立つことを示せ．

(2)　$\alpha +\beta +\gamma =1\text{，}{\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=3\text{，}{\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3=7$のとき，${\alpha }^4+{\beta }^4+{\gamma }^4$の値を求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(2,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2)$に対して，線分$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}$と線分$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$を，直線$\mathrm{PQ}$が三角形$\mathrm{OAB}$の面積を二等分するようにとる．下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の$y$座標が$t$のとき，直線$\mathrm{PQ}$の方程式と$t$の値の範囲を求めよ．

(2)　(1)で求めた範囲で$t$を動かすとき，直線$\mathrm{PQ}$が通る点全体の領域を求め，図示せよ．

【３】　関数$f(x)=(x^2+\alpha x+\beta )e^{-x}$について，下の問いに答えよ．ただし，$\alpha \text{，}\beta$は定数とする．

(1)　$f^{\prime }(x)$および$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$が$x=1$で極値をとるための$\alpha \text{，}\beta$の条件を求めよ．

(3)　$f(x)$が$x=1$で極値をとり，さらに点$(4,f(4))$が曲線$y=f(x)$の変曲点となるように$\alpha \text{，}\beta$の値を定め，関数$y=f(x)$の極値と，その曲線の変曲点をすべて求めよ．

【４】　袋の中に赤玉と白玉が何個か入っている．袋から玉を$1$つ取り出して元に戻す試行を繰り返す．$1$回の試行で赤玉が出る確率を$p$とするとき，下の問いに答えよ．

(1)　$2$回赤玉が出るまで試行を繰り返すとき，試行の回数が$3$以下になる確率を求めよ．

(2)　$2$回連続して赤玉が出るまで試行を繰り返すとき，試行の回数が$4$以下になる確率を求めよ．

(3)　赤玉を取り出した回数と白玉を取り出した回数の差が$2$になるまで試行を繰り返す．このとき，試行の回数が$n$以下で赤玉が$2$回多く出る確率を求めよ．