2012　東京農工大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$は実数で$b>0$とする．行列

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& 1-a\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

が$ABAB=E$を満たしている．ただし$E$は$2$次の単位行列とする．次の問いに答えよ．

〔1〕　$b$を$a$の式で表せ．

〔2〕　$n$を自然数とする．$A^n=E$を満たす最小の$n$を求めよ．

〔3〕　座標平面上において，$a=2$のとき行列$A$の表す$1$次変換を$f$とおく．点$\mathrm{P}(1,1)$が$f$によって移る点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$が$f$によって移る点を$\mathrm{R}$とする．このとき$▵\mathrm{PQR}$の面積$S$を求めよ．

【２】　空間のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}$を

$\overrightarrow{a}=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0)\text{，}\overrightarrow{p}=(1,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},1)\text{，}\overrightarrow{q}=(-1,\sqrt{3},2)$

で定める．また$\alpha =\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{a}\text{，}\beta =\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{a}$とおく．次の問いに答えよ．

〔1〕　$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{p}-\alpha \overrightarrow{a}$とする．$\overrightarrow{b}$を成分で表せ．

〔2〕　$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{q}-\beta \overrightarrow{a}-{\displaystyle \frac{\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{b}}{{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2}}\overrightarrow{b}$とする．$\overrightarrow{c}$を成分で表せ．

〔3〕　座標空間の原点を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$となる$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に対して，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．

【３】　区間$1<x\leqq 4$で定められた関数

$f(x)=\sqrt{4x-x^2}\text{，}g(x)=\sqrt{x\log {\displaystyle \frac{4}{x}}}$

について，次の問いに答えよ．ただし対数は自然対数とする．

〔1〕　曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．

〔2〕　区間$1\leqq x\leqq 4$において${\{f(x)\}}^2-{\{g(x)\}}^2\geqq 0$が成り立つことを示せ．

〔3〕　$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$と直線$x=1$で囲まれた部分を$D$とおく．$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積$W$を求めよ．

【４】　区間$0\leqq x\leqq 2\pi$で定められた関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}(\sin |x-t|)\cos 2tdt+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cos x$

の最大値，最小値を求めよ．また，最大値を与える$x$の値と最小値を与える$x$の値をすべて求めよ．