2012 東京農工大学 後期工学部

Mathematics

Examination

Test

Archives

2012 東京農工大学 後期工学部

物理・数学のうちの数学

易□ 並□ 難□

2012年東京農工大後期工学部物理・数学【1】2012102650201の図

図1−1

【1】 図1−1にあるように, P 0OQ0 において点 Q0 から辺 OP 0 に垂線 Q0 P1 を下ろす.点 P1 から辺 OQ 0 に垂線 P1 Q1 を下ろす.また,点 Q1 から辺 OP 0 に垂線 Q1 P2 を下ろす.これを限りなく続けるものとする.辺 OP 0 の長さを a OQ 0P 0= π2 P 0OQ0 =θ ( 0<θ< π2 ) とするとき,以下の問いに答えよ.

〔1〕 線分 P0 P1 および線分 P1 P2 の長さを a θ を用いて表せ.

〔2〕 線分 P0 Pn の長さ L n n=1 2 3 a θ n を用いて表せ.

〔3〕 長さ L n n =3 で初めて Ln> 63 64 a となるような cos θ の値の範囲を示せ.答えを導く過程も記せ.

〔4〕  P n-1 Q n-1 Pn の面積を S n n=1 2 3 とする.

(1)  Sn a θ n を用いて表せ.

(2)  θ= π 6 のとき,面積の無限級数の和 n =1 Sn a を用いて表せ.



2012 東京農工大学 後期工学部

物理・数学のうちの数学

易□ 並□ 難□

2012年東京農工大後期工学部物理・数学【2】2012102650202の図

図2−1

【2】 図2−1に示すように,原点 O を中心とし y 軸上の短軸の長さが 2 x 軸上の長軸の長さが 2 a a>1 であるような楕円と直線 l が,点 P および点 Q で交わっている.ただし,点 P の座標は ( 0,1 ) であり, x 軸から反時計回りに線分 OQ までの角の大きさは θ ( π<θ < 32 π) であるとする.以下の問いに答えよ.〔1〕〜〔3〕は答えのみでよい.

〔1〕 点 Q の座標 ( xQ ,y Q ) a θ を用いて表せ.

〔2〕 直線 l y =kx +1 と表すとき, k a θ を用いて表せ.

〔3〕 線分 PQ 上の点 A を通り x 軸に平行な直線が楕円と交わる点のうち左側の点を B とする.点 A y 座標を u とするとき,線分 AB の長さ L k a u を用いて表せ.

〔4〕  a=3 θ= 76 π のとき,楕円によって囲まれた部分を直線 l で切ったときにできる小さい方の部分の面積 S を求めよ.答えを導く過程も記せ.



2012 東京農工大学 後期工学部

化学・数学のうちの数学

易□ 並□ 難□

【1】 次の問〔1〕,〔2〕に答えなさい.ただし,答えを導く過程も記述しなさい.

〔1〕 数列 { an } の初項から第 n 項までの和を S n とする.等式 Sn=3 an -4n +2 n=1 2 3 が成り立つとき,次の問に答えなさい.

(1)  a1 a2 を求めなさい.

(2) 数列 { an } の一般項を求めなさい.

2012 東京農工大学 後期工学部

化学・数学のうちの数学

易□ 並□ 難□

【1】 次の問〔1〕,〔2〕に答えなさい.ただし,答えを導く過程も記述しなさい.

〔2〕 点 O を原点とする x y 平面上の曲線 y =( 1-x) -n C とし,曲線 C 上の点 P ( t,( 1-t) -n ) における接線を l とする.このとき次の問に答えなさい.ただし, t n は実数で, 0<t <1 n >1 とする.

(1) 接線 l が点 O を通るとき, t n を用いて表しなさい.

(2)  n=2 とする.接線 l が点 A ( u,0 ) (ただし, u>0 )を通り,曲線 C x 軸, y 軸,および直線 AP のすべてで囲まれる部分の面積を S 1 とする.また,点 P から y 軸に垂線を下ろした交点を点 B とし,曲線 C y 軸,および直線 BP で囲まれる部分の面積を S 2 とする.このとき, 2S 1=S 2 となる t の値を求めなさい.