2012　お茶の水女子大学　前期理学部選択MathJax

(1)　円板がその中心のまわりに回転した角を$\theta$とするとき，$\mathrm{P}$の座標は

$(2\theta -\sin \theta ,2-\cos \theta )$

で与えられることを示せ．

(2)　点$\mathrm{P}(2\theta -\sin \theta ,2-\cos \theta )\text{（}0<\theta <2\pi \text{）}$における曲線$C$の法線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の長さが最大となるような点$\mathrm{P}$を求めよ．ここで，$\mathrm{P}$において接線に直交する直線を法線という．

(3)　曲線$C$と$x$軸，$2$直線$x=0\text{，}x=4\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

(1)　$a<c<b$とする．$y=g(x)$を点$(c,f(c))$における$f(x)$の接線とする．$a\leqq x\leqq b$のとき$g(x)\leqq f(x)$を示せ．

(2)　$y=h(x)$を，$(a,f(a))\text{，}(b,f(b))$の$2$点を通る直線とする．$a\leqq x\leqq b$のとき$f(x)\leqq h(x)$を示せ．

(3)　$a<c<b$とする．

${\displaystyle \frac{1}{2}}(b-a)(f^{\prime }(c)(a+b-2c)+2f(c))$$\leqq {\displaystyle {\int }_a^b}f(x)dx\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(f(a)+f(b))(b-a)$

を示せ．

(4)

${\displaystyle \frac{\pi }{2}}{e}^{-\frac{1}{\sqrt{2}}}\leqq {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{-\cos x}dx\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}(1+{\displaystyle \frac{1}{e}})$

を示せ．

(2)　サイコロを$n$回ふって出た目の数字を円周上に並べる．隣り合う$2$つの数がすべて異なる確率を$b_n$とする．(1)の確率$a_n$を$b_n$と$b_{n-1}$を用いて表せ．

(3)　(2)の確率$b_n$を求めよ．

(1)　$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d\end{array}\right)$とする．

(ⅰ)　$a>0\text{，}d\geqq 0$または$a\geqq 0\text{，}d>0$のとき，$X^2=A$を満たす行列$X$を$1$つ求めよ．

(ⅱ)　$a<0$または$d<0$のとき，$X^2=A$を満たす行列$X$が存在するための必要十分条件を$a\text{，}b\text{，}d$を用いて表せ．また，この条件が成り立つとき，$X^2=A$を満たす行列$X$を$1$つ求めよ．

(ⅲ)　$a=d=0\text{，}b\ne 0$のとき，$X^2=A$を満たす行列$X$は存在しないことを示せ．

(2)　$B=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)\text{，}{B}^2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とする．

(ⅰ)　$p+s=0\text{，}ps-qr=0$となることを示せ．

(ⅱ)　$B\ne \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$のとき，$X^2=B$を満たす行列$X$は存在しないことを示せ．