Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2012年度一覧へ
大学別一覧へ
お茶の水大一覧へ
2012-10270-0301
2012 お茶の水女子大学 後期理学部
易□ 並□ 難□
【1】 座標空間に 3 点 A ( 1,0, 0) ,B ( 0,1, 0) ,P ( x,y, z) ( z>0 ) がある. O は原点を表す.
(1) ▵PAB の面積を求めよ.
(2) z と実数 t を固定する. x+y =t であるとき, ▵POA , ▵POB の面積の和が最小となる x , y を t を用いて表せ.
(3) 四面体 POAB の体積が 16 となる範囲を点 P が動くとき, POAB の 4 つの面の面積の総和が最小となるような x , y ,z を求めよ.
2012-10270-0302
【2】 自然数からなる数列 { an }, { bn } を次の関係式で定める.
{ a1 =1 ,b1 =1 an+1 =2⁢ an+ bn ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )b n+1 =an+ 3⁢bn ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
以下の問いに答えよ.
(1) an が偶数であることと, n が 3 の倍数であることとは同値であることを示せ.
(2) bn が 3 の倍数であることと, n を 4 で割って 3 余ることとは同値であることを示せ.
(3) bn が 6 の倍数になるのは, n がどのような自然数であるときか,その条件を求めよ.
2012-10270-0303
【3】(1) 曲線 y =x3 +a⁢x +b と直線 y =p⁢x +q が異なる 3 点で交わるとする.交点の x 座標をそれぞれ α , β ,γ ( α <β<γ ) とする.条件
∫ αγ {( x3+ a⁢x+b )-( p⁢x+q )} ⁢dx= 0
が成り立つとき, β=0 となることを示せ.
(2) 曲線 y =x3 +3⁢a ⁢x2 +b⁢x +c と直線 y =p⁢x +q が異なる 3 点で交わるとする.交点の x 座標をそれぞれ α , β ,γ ( α<β< γ ) とする.条件
∫ αγ {( x3+ 3⁢a⁢ x2+b ⁢x+c )-( p⁢x+ q) }⁢ dx=0
が成り立つとき, q を p , a ,b , c を用いて表せ.