2012　電気通信大学　昼間・前期MathJax

【１】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$に対して，$xy$平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$の第$1$象限にある変曲点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(ⅲ)　変曲点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線$l$の方程式を求めよ．

(ⅳ)　$x=\tan \theta (-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とおく．このとき，不定積分

$I={\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{dx}{x^2+1}}$

を$\theta$を用いて表せ．

なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．

(ⅴ)　曲線$C$と接線$l$および$y$軸とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

【２】　区間$0\leqq x\leqq \pi$で連続な関数$f(x)$に対して，定積分

$I={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\{t\sin x-f(x)\}}^{2}dx$（$t$は実数）

を考える．定数$c_1\text{，}{c}_2\text{，}{c}_3$を

$c_1={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\sin }^{2}xdx\text{，}{c}_2={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)\sin xdx\text{，}{c}_3={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\{f(x)\}}^{2}dx$

と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$I$を，$t$および$c_1\text{，}{c}_2\text{，}{c}_3$を用いて表せ．

(ⅱ)　$c_1$の値を求めよ．

　以下では，$I$を最小にする$t$の値を$t_0$とし，その最小値を$I_0$とする．

(ⅲ)　$t_0$を$c_2$を用いて表せ．また，$I_0$を$c_2\text{，}{c}_3$を用いて表せ．

(ⅳ)　次の定積分$A\text{，}B$の値を求めよ．

$A={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x\sin xdx\text{，}B={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x\cos xdx$

(ⅴ)　$f(x)=x(\pi -x)$のとき，$c_2\text{，}{c}_3$および$I_0$の値をそれぞれ求めよ．

【３】　$a$を正の定数とし，次のように定められた$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を考える．

$\{\begin{array}{ll}{a}_1=a\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n+{\displaystyle \frac{4}{a_n}})& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\\ b_n={\displaystyle \frac{a_n-2}{a_n+2}}& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$-1<b_1<1$であることを示せ．

(ⅱ)　$b_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．さらに，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(ⅲ)　$b_3\text{，}{b}_4$をそれぞれ$b_1$を用いて表せ．さらに，数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$と$b_1$を用いて表せ．

(ⅳ)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$と$b_1$を用いて表せ．

(ⅴ)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【４】　次の条件をみたす$2$次正方行列$A\text{，}B$を考える．

$AB=-E\text{，}A-B=E$（$E$は単位行列）

このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$A^2-A$を求めよ．

(ⅱ)　$A^3$を求めよ．

(ⅲ)　$A^n=E$となる最小の正の整数$n$を求めよ．

(ⅳ)　$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$とするとき，$a+d\text{，}ad-bc$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数とする．

(ⅴ)　$A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$となるとき，$A$を求めよ．