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2012 電気通信大学 後期

配点60点

易□ 並□ 難□

【1】  2 以上の自然数 n に対して,関数 f n( x)

fn (x) = logx xn x> 0

で定める.曲線 y= fn (x ) C n とするとき,以下の問いに答えよ.ただし, logx e を底とする自然対数とする.

(ⅰ) 関数 f n( x) の増減を調べ,極値を求めよ.

(ⅱ) 原点を O とし,曲線 C n 上の点を P (t ,fn (t )) とするとき,直線 OP の傾きが最大となるような t の値 t n を求めよ.

(ⅲ) 不定積分 fn (x) dx を求めよ.

(ⅳ)  1<t tn のとき,線分 OP と曲線 C n および x 軸で囲まれる部分の面積を Sn (t) とする. Sn (t ) t n を用いて表せ.

(ⅴ)  limn nSn ( tn ) を求めよ.

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配点60点

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【2】 半径 1 の扇形を展開図とする円錐面(円錐の側面)のうちで,中心軸とのなす角が θ (0< θ< π2 ) であるものを C θ で表す(図1).このとき,以下の問いに答えよ.

(ⅰ) 円錐面 C θ の展開図である扇形(図2)の中心角 α (θ ) を求めよ.

(ⅱ)  Cθ の底を平面で ふさ いだとき,囲まれる部分(円錐)の体積 f (θ ) を求めよ.

(ⅲ)  θ 0< θ< π2 の範囲を動くとき, f( θ) の最大値を求めよ.

 以下では, θ0 tan θ0 =3 0< θ0< π 2 を満たす角とする.

(ⅳ)  0<θ< θ0 のとき,円錐面 C θ0 の上側に円錐面 C θ を中心軸が一致するように かぶ せる(図3). Cθ0 と, C θ はさ まれる部分の体積 g (θ ) を求めよ.

(ⅴ)  θ 0< θ<θ 0 の範囲を動くとき, g( θ) の最大値を求めよ.

2012年電気通信大後期【2】の図

図1

2012年電気通信大後期【2】の図

図2

2012年電気通信大後期【2】の図

図3(真横から見た図)

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配点60点

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【3】  b を実数とし, α β α<β x 2 次方程式 x 2+b x-1 =0 の異なる実数解とする.数列 { an}

an= αn- βn α-β n=1 2 3

で定めるとき,以下の問いに答えよ.

(ⅰ)  a3 b の式で表せ.

(ⅱ) 数列 { an } が漸化式

an+ 2+b an +1- an= 0 n=1 2 3

を満たすことを示せ.

(ⅲ) 行列 A= ( -b1 10 ) に対して, An n2 は上の数列の項 a p aq ar as p q r s n の式)を用いて,

An= ( ap aq ar as )

と表されることを証明せよ.

(ⅳ)  b>0 のとき, |α | | β| の大小関係を調べよ.さらに,このときの極限値 limn a n+1 an b を用いて表せ.

2012 電気通信大学 後期

配点60点

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2012年電気通信大後期【4】の図

【4】 座標平面上で,原点 O (0 ,0) および点 A (1 ,1) B (0 ,1) を頂点とする直角二等辺三角形 OAB をとり,辺 OA 上に点 P AB 上に点 Q BO 上に点 R

OP=AQ= BR=t 0<t< 1

を満たすようにとる. 3 P Q R を頂点とする PQR について,以下の問いに答えよ.

(ⅰ) ベクトル PR PQ の成分を PR =( a( t), b( t) ) PQ =(c (t ),d (t )) とするとき, a( t) b (t) c (t) d (t) をそれぞれ求めよ.

(ⅱ)  RPQ が直角になるときの t の値を求めよ.

(ⅲ) 内積 RP RQ t を用いて表せ.さらに,任意の t 0 <t<1 に対して PRQ が鋭角であることを証明せよ.

(ⅳ)  PQR PQR を直角とする直角二等辺三角形であるとき, t の値を求めよ.さらに,そのときの OPR を求めよ.

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【5】で配点60点

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【5】[Ⅰ] 次の値を求めよ.

(ⅰ)  limn 1 n4 k= 1n k3

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【5】で配点60点

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【5】[Ⅰ] 次の値を求めよ.

(ⅱ)  24 dxx 2+x- 2

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【5】で配点60点

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【5】[Ⅰ] 次の値を求めよ.

(ⅲ)  0cos π 7 dx 1-x2

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【5】で配点60点

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【5】[Ⅱ] カード 0 m 枚,カード 1 n 枚ある.これら m+ n 枚のカードを左から右へ順に並べるとき,以下のそれぞれの条件を満たす並べ方は何通りあるか.

(ⅳ)  (m, n)= (5, 4) で,並べ方に制限をつけない.

(ⅴ)  (m, n)= (4, ) で,左から 0 1 の枚数をそれぞれ数えていくとき,どの時点でも 1 の枚数は 0 の枚数以上である.

(ⅵ)  (m, n)= (4, 5) 0 が連続して 2 枚以上現れることはない.

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