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2012 一橋大学 後期

易□ 並□ 難□

【1】  0θ <2 π とする.

log2 ( 4.sin 2θ +3cos θ-4 ) log2 (- 4cos 3θ +3cos θ+1 )

がともに整数となるような θ の値をすべて求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 数列 a 1 a 2 a 3 を次の(ⅰ),(ⅱ)の規則により定める.

(ⅰ)  a1 =0 a 2=1

(ⅱ)  n2 とする. k=a n とおくとき, an -k= an が成り立つならば an+1 =an +1 とし, an -k an ならば an+1 =a n とする.

(1)  0 以上の整数 k に対して, an =k を満たす最小の n および最大の n をそれぞれ k の式で表せ.

(2)  n= 1m an 2012 を満たす最小の m を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 四面体 OABC は, OA=OB =OC=1 であり, 0 ° <θ<120 ° を満たす θ に対して AOB=BOC =COA= θ である.

(1) 四面体 OABC の体積を θ の式で表せ.

(2) 四面体 OABC の体積を最大にする θ の値を求めよ.

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【4】  n を正の整数とする. 1 から 2 n までの整数がそれぞれ 1 つずつ書かれた 2 n 枚のカードがある.この 2 n 枚のカードから 1 枚を抜き出し,抜き出したカードに書かれた数を a とする.次に,残りの 2 n-1 枚のカードからもう 1 枚を抜き出し,抜き出したカードに書かれた数を b とする.直線 2a x+b y= 3a b l とし,原点を中心とする半径 1 の円を C とする.

(1) 直線 l と円 C 1 点のみを共有する確率を n の式で表せ.

(2) 直線 l と円 C が共有点をもたない確率を n の式で表せ.

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【6】との選択

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【5】  a を正の定数とし,放物線 y =a x2 と直線 y =1 で囲まれる領域を D とする. y 軸上の点を中心とし,領域 D に含まれる円の半径の最大値を求めよ.

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【5】との選択

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【6】 次の(1),(2)の不等式が成り立つことを証明せよ.

(1)  0x 1 のとき, 1- x2 e-x 2 1- x3

(2)  5 3< -11 e- x22 dx < 169

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