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2012-10272-0201
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2012 一橋大学 後期
易□ 並□ 難□
【1】 0≦θ <2⁢ π とする.
log2 ⁡( 4⁢.sin 2⁡θ +3⁢cos ⁡θ-4 ), log2 ⁡(- 4⁢cos 3⁡θ +3⁢cos ⁡θ+1 )
がともに整数となるような θ の値をすべて求めよ.
2012-10272-0202
【2】 数列 a 1 ,a 2 ,a 3 ,⋯ を次の(ⅰ),(ⅱ)の規則により定める.
(ⅰ) a1 =0 ,a 2=1
(ⅱ) n≧2 とする. k=a n とおくとき, an -k= an が成り立つならば an+1 =an +1 とし, an -k≠ an ならば an+1 =a n とする.
(1) 0 以上の整数 k に対して, an =k を満たす最小の n および最大の n をそれぞれ k の式で表せ.
(2) ∑n= 1m an ≧2012 を満たす最小の m を求めよ.
2012-10272-0203
【3】 四面体 OABC は, OA=OB =OC=1 であり, 0⁢ ° <θ<120 ⁢° を満たす θ に対して ∠ AOB=∠BOC =∠COA= θ である.
(1) 四面体 OABC の体積を θ の式で表せ.
(2) 四面体 OABC の体積を最大にする θ の値を求めよ.
2012-10272-0204
【4】 n を正の整数とする. 1 から 2 ⁢n までの整数がそれぞれ 1 つずつ書かれた 2 ⁢n 枚のカードがある.この 2 ⁢n 枚のカードから 1 枚を抜き出し,抜き出したカードに書かれた数を a とする.次に,残りの 2 ⁢n-1 枚のカードからもう 1 枚を抜き出し,抜き出したカードに書かれた数を b とする.直線 2⁢a ⁢x+b ⁢y= 3⁢a⁢ b を l とし,原点を中心とする半径 1 の円を C とする.
(1) 直線 l と円 C が 1 点のみを共有する確率を n の式で表せ.
(2) 直線 l と円 C が共有点をもたない確率を n の式で表せ.
2012-10272-0205
【6】との選択
【5】 a を正の定数とし,放物線 y =a⁢ x2 と直線 y =1 で囲まれる領域を D とする. y 軸上の点を中心とし,領域 D に含まれる円の半径の最大値を求めよ.
2012-10272-0206
【5】との選択
【6】 次の(1),(2)の不等式が成り立つことを証明せよ.
(1) 0≦x ≦1 のとき, 1- x2≦ e-x 2≦ 1- x3
(2) 5 3< ∫ -11 e- x22 ⁢dx < 169