2012　東京海洋大学　前期海洋科学部MathJax

【１】　$3$次関数$f(x)=-x^3+3a{x}^2+b$（$a\text{，}b$は実数の定数）について，次の問に答えよ．

(1)　$a=1\text{，}b=3$のとき，$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$0\leqq x\leqq 2$のとき$f(x)\leqq 4$となるための$a\text{，}b$の条件を求めよ．

【２】　$a$を正の定数とする．放物線$C\text{：}y=(1-x)(x+a)$と$C$上の動点$\mathrm{P}(t,(1-t)(t+a))$について，次の問に答えよ．ただし，$0<t<1$とする．

(1)　$x$軸に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}\text{，}xy$平面の原点を$\mathrm{O}$とし，放物線$C$と$y$軸および$2$つの線分$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{OQ}$とで囲まれた図形の面積を$S$とするとき，$S$を$t$と$a$で表せ．

(2)　$S$を最大にする$t$が${\displaystyle \frac{3}{4}}<t<{\displaystyle \frac{4}{5}}$の範囲に存在することを示せ，

【３】　右図のような$8$個の点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$を頂点とする直方体がある．ここで，$\mathrm{AB}=1\text{，}\mathrm{BC}=1\text{，}\mathrm{AE}=2$である．$8$個の頂点から相異なる$3$点を選ぶとき，その$3$点を頂点とする三角形の面積を$S$とする．このとき，次の問に答えよ．ただし，どの$3$点が選ばれる確率も等しいとする．

(1)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{H}$を選んだとき，$S$の値を求めよ．

(2)　$S=1$となる確率を求めよ．

(3)　$S$の期待値を求めよ．

【４】　$f(x)=x^3-{\displaystyle \frac{7}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{7}{2}}x$として数列$\{a_n\}$を

$a_1={\displaystyle \frac{4}{3}}\text{，}{a}_{n+1}=f(a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$は区間${\displaystyle \frac{4}{5}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{4}{3}}$で減少することを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{4}{5}}\leqq a_n\leqq {\displaystyle \frac{4}{3}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(3)　${\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{9}{25}}\right)}^{n-1}\leqq |a_n-1|\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{9}{16}}\right)}^{n-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

【５】　空間内に三角形$\mathrm{ABC}$と定点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$とがある．点$\mathrm{P}$が$S$上のすべての点を動くときの${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{CP}}^2$の最大値，最小値をそれぞれ$M\text{，}m$とするとき，次の問に答えよ．ただし，三角形$\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$は$\mathrm{OG}>1$をみたすものとする．

(1)　$M={\mathrm{AQ}}^2+{\mathrm{BQ}}^2+{\mathrm{CQ}}^2$となる$S$上の点を$\mathrm{Q}\text{，}m={\mathrm{AR}}^2+{\mathrm{BR}}^2+{\mathrm{CR}}^2$となる$S$上の点を$\mathrm{R}$とするとき，$3$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{G}$は$1$直線上にあることを示せ．

(2)　$\sqrt{M-({\mathrm{GA}}^2+{\mathrm{GB}}^2+{\mathrm{GC}}^2)}-\sqrt{m-({\mathrm{GA}}^2+{\mathrm{GB}}^2+{\mathrm{GC}}^2)}$の値は三角形$\mathrm{ABC}$に無関係に定まることを示し，その値を求めよ．