2012　東京海洋大学　前期海洋工学部MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表される移動により点$(x,y)$が点$(x^{\prime },y^{\prime })$に移るとき

${x^{\prime }}^2+{y^{\prime }}^2=x^2+y^2$

が常に成り立つとする．

(1)　$\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$が成り立つことを示せ．

(2)　行列$A^2$で表される移動が，原点に関する対称移動になるような行列$A$をすべて求めよ．

【２】　$x$の整式$f_n(x)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を

$\{\begin{array}{ll}{f}_0(x)=1\text{，}{f}_1(x)=x\text{，}& \\ f_{n+1}(x)=2x{f}_n(x)-f_{n-1}(x)& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

で定める．

(1)　方程式$f_5(x)=0$を解け．

(2)　$f_n(\cos \theta )=\cos n\theta \text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{）}$を示せ．

(3)　$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{10}}\text{，}\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{10}}\text{，}\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{10}}\text{，}\cos {\displaystyle \frac{9\pi }{10}}$の値を求めよ．

【３】　定数$a\text{（}a\ne 1\text{）}$に対し，$f(x)=x^3-(a+2)x^2+(2a+1)x-a$とする．

(1)　方程式$f(x)=0$の解を$a$を用いて表せ．

(2)　関数$f(x)$の極値を$a$を用いて表せ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$a$を用いて表せ．ただし，${\displaystyle \int x^{3}dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+C}$（$C$は積分定数）を用いてよい．

【４-Ⅰ】　座標平面上の放物線$y=x^2$に点$\mathrm{P}(a,b)$（ただし，$b<a^2$）から異なる$2$本の接線を引き，放物線との接点をそれぞれ$\mathrm{Q}(q,q^2)\text{，}\mathrm{R}(r,r^2)$（ただし，$q<r$）とする．

(1)　$2$本の接線の方程式を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$\angle \mathrm{QPR}=45\mathrm{°}$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めて図示せよ．

【４-Ⅱ】　曲線$C_1\text{：}y=\log x$と放物線$C_2\text{：}y=a{x}^2$（ただし，$a$は正の定数）を考える．

(1)　$C_1$と$C_2$が共有点$\mathrm{P}$において共通接線をもつとき（すなわち，点$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線が同一のとき），$a$の値と$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　(1)のとき，$C_1\text{，}{C}_2$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．