2012　新潟大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面上に放物線$C:y=-x^2$がある．$\mathrm{P}(a,b)$を$C$上の点とする．放物線$D:y=x^2+px+q$は点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C$の接線と$D$の接線は一致している．次の問いに答えよ．

(1)　$b\text{，}p\text{，}q$をそれぞれ$a$で表せ．

(2)　$a=1$のとき，放物線$C$と$D$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}(a,b)$が放物線$C$上を動くとき，放物線$D$の頂点の軌跡を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{10}3$は無理数であることを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{6}{13}}<{\log }_{10}3<{\displaystyle \frac{1}{2}}$が成り立つことを示せ．

(3)　$3^{26}$の桁数を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}\perp \mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OA}=3\text{，}\mathrm{OB}=4\text{，}\mathrm{OC}=5$とする．$▵\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{CG}$は$▵\mathrm{OAB}$を含む平面に垂直とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{CG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【４】　箱の中に$1$から$9$までの異なる整数が$1$つずつ書かれたカードが$9$枚入っている．「箱からカードを$1$枚引き，カードに書かれた整数を記録して箱の中に戻す」という操作を$3$回繰り返す．記録された$3$つの整数の最小値を$m\text{，}$最大値を$M$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$m=M$となる確率を求めよ．

(2)　$5<m$となる確率および$M<5$となる確率を求めよ．

(3)　$m\leqq 5\leqq M$となる確率を求めよ．

【１】　平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$を

$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ a& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

によって定められる点$\mathrm{Q}(X,Y)$に移す移動を考える．ここで，$a$は実数とする．楕円$C:x^2+4y^2=1$が与えられているとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}(x,y)$が楕円$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(X,Y)$は円$D:X^2+Y^2=1$上を動くとする．このとき$a$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}(x,y)$が楕円$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(X,Y)$は直線$l:Y=pX+q$上を動くとする．ただし$p\text{，}q$は実数とする．このとき$a$および$p\text{，}q$の値を求めよ．

(3)　(2)において，点$\mathrm{P}(x,y)$が楕円$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(X,Y)$の$X$の最大値，最小値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$k\text{，}n$は不等式$k\leqq n$を満たす自然数とする．このとき，

$2^{k-1}n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)=n^{k}k!$

が成り立つことを示せ．

(2)　自然数$n$に対して，${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n<3$が成り立つことを示せ．

(3)　${\displaystyle \frac{9}{19}}<{\log }_{10}3<{\displaystyle \frac{1}{2}}$が成り立つことを示せ．

【３】　$a$を実数とし，$xy$平面上において，$2$つの放物線

$C:y=x^2\text{，}D:x=y^2+a$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}q$を実数として，直線$l:y=px+q$が$C$に接するとき，$q$を$p$で表せ．

(2)　(1)において，直線$l$がさらに$D$にも接するとき，$a\text{を}p$で表せ．

(3)　$C$と$D$の両方に接する直線の本数を，$a$の値によって場合分けして求めよ．

【４】　箱の中に$1$から$9$までの異なる整数が$1$つずつ書かれたカードが$9$枚入っている．「箱からカードを$1$枚引き，カードに書かれた整数を記録して箱の中に戻す」という操作を$3$回繰り返す．記録された$3$つの整数の最小値を$m\text{，}$最大値を$M$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$5<m$となる確率および$M<5$となる確率を求めよ．

(2)　$m\leqq 5\leqq M$となる確率を求めよ．

(3)　$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}9$に対して，$m\leqq k\leqq M$となる確率を$p(k)$とする．$p(k)$の最大値，最小値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　実数$x\geqq 0$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．

$x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\leqq \log (1+x)\leqq x$

(2)　数列$\{a_n\}$を

$a_n=n^2{\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{n}}}\log (1+x)dx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定めるとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(3)　数列$\{b_n\}$を

$b_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}\log (1+{\displaystyle \frac{k}{n^2}})\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定めるとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．