2012 富山大学 前期

Mathematics

Examination

Test

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2012 富山大学 前期

人間発達科,経済学部

易□ 並□ 難□

【1】  n が奇数であるとき,

S=n+ (n +1) 2+ (n +2) 3

16 の倍数であることを示せ.

2012 富山大学 前期

人間発達科,経済,理(数学科除く),工学部

理(数学科除く),工学部は【1】

易□ 並□ 難□

【2】 次の問いに答えよ.

(1) 連立不等式

{ x2 +y2 -6y -160 y+ 3x- 80

の表す領域 D を図示せよ.

(2) 点 ( x,y ) が領域 D を動くとき, y-2 x の最大値と最小値を求めよ.

2012 富山大学 前期

人間発達科,経済学部

易□ 並□ 難□

【3】  3 次関数 f (x )= x3+ ax+ b について,曲線 y =f (x ) 上の点 P ( t,f (t ) ) における曲線の接線を l t とする.

(1)  lt の方程式を求めよ.

(2)  lt が原点を通るような t の値がただ 1 つに定めるための a b の条件を求めよ.

(3)  a b が(2)の条件を満たすとき,点 ( a,b ) が存在する領域を図示せよ.

2012 富山大学 前期

理,工学部

理(数学科)学部は【1】

医(医学科)学部【1】の類題

易□ 並□ 難□

【2】 次の問いに答えよ.

(1) すべての実数 x に対して,次の不等式が成り立つことを示せ.

ex 1+x

(2) すべての実数 x に対して,次の不等式が成り立つことを示せ.

e- x2 11+ x2

(3) 次の不等式が成り立つことを示せ.

e-1 e< 01 e- x2 dx< π 4

2012 富山大学 前期

理,工,薬学部

理(数学科)学部は【1】,薬学部は【2】

医(医学科)学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【3】  x>0 のとき, tanθ =x となる θ 0 <θ< π 2 の範囲にただ 1 つ存在する.その θ f (x ) と表すことにする.

(1)  f( 2k )+ f( 2l )= π4 を満たす自然数の組 ( k,l ) を求めよ.ただし, kl とする.

(2) 自然数 m n について, sin{ 2f ( mn )} m n を用いて表せ.

(3)  limn 1 n m =1n sin {2 f( m n) } を求めよ.

2012 富山大学 前期

理(数学科)学部

易□ 並□ 難□

【3】 箱の中に,数字の 1 が書かれたカードと数字の 2 が書かれたカードが,それぞれ 1 枚ずつ入っている.この箱の中から 1 枚のカードを取り出し,数字を記録して箱に戻す.これを n 回繰り返したとき,記録された数字の和が 3 の倍数である確率を P n とする.

(1)  P1 P2 を求めよ.

(2)  Pn+ 1 P n を用いて表せ.

(3)  Pn n を用いて表せ.

2012 富山大学 前期

医(医学科),薬学部

理,工学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1) すべての実数 x に対して,次の不等式が成り立つことを示せ.

e- x2 11+ x2

(2) 次の不等式が成り立つことを示せ.

e-1 e< 01 e- x2 dx< π 4

2012 富山大学 前期

医(医学科)学部

理,工学部【3】の類題

易□ 並□ 難□

【2】  x>0 のとき, tanθ =x となる θ 0 <θ< π 2 の範囲にただ 1 つ存在する.その θ f (x ) と表すことにする.

(1)  3 以上の素数 p に対して, f( pk )+ f( pl )= π4 を満たす自然数の組 ( k,l ) を求めよ.ただし, kl とする.

(2) 自然数 m n について, sin{ 2f ( mn )} m n を用いて表せ.

(3)  limn 1 n m =1n sin {2 f( m n) } を求めよ.

2012 富山大学 前期

医(医学科)学部

薬学部【3】の類題

易□ 並□ 難□

【3】 行列 A =( 0x yz ) B= (0 w w0 ) は次の条件(ア),(イ)を満たしているとする.

(ア)  A2 +A+E =O

(イ)  B2 =E

ただし, E=( 10 01 ) O= (0 00 0 ) である.

(1)  x y z w がすべて整数で x <yw を満たすとき, x y z w を求めよ.

(2) (1)で求めた x y z w に対して,ベクトル ( pn qn ) n=0 1 2 を次のように定める.

( p0 q0 )= (1 1 )

( pn qn ) が決まったとき,硬貨を投げて表が出れば ( pn+ 1 qn+1 ) =A( p n qn ) 裏が出れば ( pn+ 1 qn+1 ) =B( p n qn ) とする.

(a)  ( pn qn ) ( 1 1 ) ( -1 0 ) ( 0- 1) のいずれかであることを示せ.

(b)  ( pn qn )=( 1 1 ) となる確率を Xn ( pn qn )=( -1 0 ) となる確率を Yn ( pn qn )=( 0 -1 ) となる確率を Z n とするとき, Xn+ 1 Y n+1 Zn +1 をそれぞれ Y n を用いて表せ.また, Xn n を用いて表せ.

2012 富山大学 前期

薬学部

医(医学科)学部【3】の類題

易□ 並□ 難□

【3】 行列 A =( 0x yz ) B= (0 w w0 ) は次の条件(ア),(イ)を満たしているとする.

(ア)  A2 +A+E =O

(イ)  B2 =E

ただし, E=( 10 01 ) O= (0 00 0 ) である.

(1)  x y z w がすべて整数で x <yw を満たすとき, x y z w を求めよ.

(2) (1)で求めた x y z w に対して,ベクトル ( pn qn ) n=0 1 2 を次のように定める.

( p0 q0 )= (1 1 )

( pn qn ) が決まったとき,硬貨を投げて表が出れば ( pn+ 1 qn+1 ) =A( p n qn ) 裏が出れば ( pn+ 1 qn+1 ) =B( p n qn ) とする.

このとき, ( p3 q3 )= ( 11 ) となる確率を求めよ.