2012　富山大学　前期MathJax

【１】　$n$が奇数であるとき，

$S=n+{(n+1)}^2+{(n+2)}^3$

は$16$の倍数であることを示せ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-6y-16\leqq 0\\ y+3x-8\geqq 0\end{array}$

の表す領域$D$を図示せよ．

(2)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$y-2x$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　$3$次関数$f(x)=x^3+ax+b$について，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(t,f(t))$における曲線の接線を$l_t$とする．

(1)　$l_t$の方程式を求めよ．

(2)　$l_t$が原点を通るような$t$の値がただ$1$つに定めるための$a\text{，}b$の条件を求めよ．

(3)　$a\text{，}b$が(2)の条件を満たすとき，点$(a,b)$が存在する領域を図示せよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．

$e^x\geqq 1+x$

(2)　すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．

$e^{-x^2}\leqq {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$

(3)　次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{e-1}{e}}<{\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{-x^2}dx<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

【３】　$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲にただ$1$つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．

(1)　$f\left({\displaystyle \frac{2}{k}}\right)+f\left({\displaystyle \frac{2}{l}}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たす自然数の組$(k,l)$を求めよ．ただし，$k\leqq l$とする．

(2)　自然数$m\text{，}n$について，$\sin \{2f({\displaystyle \frac{m}{n}}\left)\right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{m=1}^n}\sin \{2f({\displaystyle \frac{m}{n}}\left)\right\}$を求めよ．

【３】　箱の中に，数字の$1$が書かれたカードと数字の$2$が書かれたカードが，それぞれ$1$枚ずつ入っている．この箱の中から$1$枚のカードを取り出し，数字を記録して箱に戻す．これを$n$回繰り返したとき，記録された数字の和が$3$の倍数である確率を$P_n$とする．

(1)　$P_1\text{，}{P}_2$を求めよ．

(2)　$P_{n+1}$を$P_n$を用いて表せ．

(3)　$P_n$を$n$を用いて表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．

$e^{-x^2}\leqq {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$

(2)　次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{e-1}{e}}<{\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{-x^2}dx<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

【２】　$x>0$のとき，$\tan \theta =x$となる$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲にただ$1$つ存在する．その$\theta$を$f(x)$と表すことにする．

(1)　$3$以上の素数$p$に対して，$f\left({\displaystyle \frac{p}{k}}\right)+f\left({\displaystyle \frac{p}{l}}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たす自然数の組$(k,l)$を求めよ．ただし，$k\leqq l$とする．

(2)　自然数$m\text{，}n$について，$\sin \{2f({\displaystyle \frac{m}{n}}\left)\right\}$を$m$と$n$を用いて表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{m=1}^n}\sin \{2f({\displaystyle \frac{m}{n}}\left)\right\}$を求めよ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}0& x\\ y& z\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}0& w\\ w& 0\end{array}\right)$は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．

(ア)　$A^2+A+E=O$

(イ)　$B^2=E$

ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$である．

(1)　$x\text{，}y\text{，}z\text{，}w$がすべて整数で$x<yw$を満たすとき，$x\text{，}y\text{，}z\text{，}w$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$x\text{，}y\text{，}z\text{，}w$に対して，ベクトル$\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を次のように定める．

・$\left(\begin{array}{c}{p}_0\\ q_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

・$\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)$が決まったとき，硬貨を投げて表が出れば$\left(\begin{array}{c}{p}_{n+1}\\ q_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)\text{，}$裏が出れば$\left(\begin{array}{c}{p}_{n+1}\\ q_{n+1}\end{array}\right)=B\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)$とする．

(a)　$\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)$は$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right)$のいずれかであることを示せ．

(b)　$\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$となる確率を$X_n\text{，}\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right)$となる確率を$Y_n\text{，}\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right)$となる確率を$Z_n$とするとき，$X_{n+1}\text{，}{Y}_{n+1}\text{，}{Z}_{n+1}$をそれぞれ$Y_n$を用いて表せ．また，$X_n$を$n$を用いて表せ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}0& x\\ y& z\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}0& w\\ w& 0\end{array}\right)$は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．

(ア)　$A^2+A+E=O$

(イ)　$B^2=E$

ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$である．

(1)　$x\text{，}y\text{，}z\text{，}w$がすべて整数で$x<yw$を満たすとき，$x\text{，}y\text{，}z\text{，}w$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$x\text{，}y\text{，}z\text{，}w$に対して，ベクトル$\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を次のように定める．

・$\left(\begin{array}{c}{p}_0\\ q_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

・$\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)$が決まったとき，硬貨を投げて表が出れば$\left(\begin{array}{c}{p}_{n+1}\\ q_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)\text{，}$裏が出れば$\left(\begin{array}{c}{p}_{n+1}\\ q_{n+1}\end{array}\right)=B\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)$とする．

このとき，$\left(\begin{array}{c}{p}_3\\ q_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$となる確率を求めよ．