2012　富山大学　後期MathJax

【１】　以下の関数$f(x)$に対して，次の問いに答えよ．

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}& \text{（}x\ne 0\text{）}\\ 1& \text{（}x=0\text{）}\end{array}$

(1)　$x=a\text{（}a\ne 0\text{）}$における微分係数$f^{\prime }(a)$を求めよ．

(2)　$x\geqq 0$のとき，次の不等式を示せ．

$x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}\leqq \sin x\leqq x+{\displaystyle \frac{x^3}{6}}$

(3)　$x\leqq 0$のとき，次の不等式を示せ．

$x+{\displaystyle \frac{x^3}{6}}\leqq \sin x\leqq x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}$

(4)　$x=0$における微分係数$f^{\prime }(0)$を求めよ．

【２】　正三角形$\mathrm{ABC}$を$1$つの底面とする正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$として，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$であることを示せ．

(2)　$▵\mathrm{OBC}$の重心を$\mathrm{H}$とするとき，線分$\mathrm{OG}$と線分$\mathrm{AH}$の交点を$\mathrm{K}$として，$\overrightarrow{\mathrm{OK}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\sqrt{2}$のとき，三角錐$\mathrm{KABC}$の体積を求めよ．

【３】　$a>0$とする．放物線$C_1\text{：}y=x^2+1$の頂点を$\mathrm{P}$とする．円$C_2$は，その中心$\mathrm{A}$が放物線$C_1$の軸上にあり，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}(a,a^2+1)$を通るものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　円$C_2$の中心$\mathrm{A}$の座標と半径を$a$を用いて表せ．

(2)　$a=\sqrt{3}$とする．$\angle \mathrm{PAQ}$の大きさを求めよ．また，円$C_2$の内部で，$y\leqq x^2+1$をみたす部分$D$を図示せよ．

(3)　(2)の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．