2012　金沢大学　前期　人間社会学域MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に点$\mathrm{A}(0,\sin \theta )\text{，}\mathrm{B}(\cos \theta ,0)$がある．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．また，点$\mathrm{C}$を$\mathrm{AC}=2\text{，}\angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす第$1$象限の点とする．さらに，点$\mathrm{C}$から$x$軸に垂線$\mathrm{CD}$を下ろす．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$を求めよ．また，$\angle \mathrm{OBA}$と$\angle \mathrm{CBD}$および点$\mathrm{C}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　台形$\mathrm{AODC}$の面積を$S$とするとき，$S\leqq 1+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$を示せ．また，等号が成り立つとき，$\theta$の値を求めよ．

(3)　$\mathrm{AO}+\mathrm{CD}\leqq 2$を示せ．また，等号が成り立つとき，$\theta$の値を求めよ．

【２】　曲線$C:y=|x^2-2x|$と傾きが$m$の直線$l:y=mx$について，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=-x^2+2x$と$l$が接する$m$の値を求めよ．

(2)　$C$と$l$が原点以外の相異なる$2$点で交わるような$m$の範囲を求めよ．また，そのときの$2$つの交点の座標を$m$を用いて表せ．

(3)　$m$は(2)で求めた範囲にあるとする．$x\geqq 2\text{，}y\leqq mx\text{，}y\geqq |x^2-2x|$で定まる部分の面積$S$を$m$を用いて表せ．

【３】　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{10}\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)\text{，}{\log }_{10}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$の値を求めよ．

(2)　${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^m\geqq {\displaystyle \frac{1}{10}}\text{，}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\geqq {\displaystyle \frac{1}{10}}$を満たす最大の自然数$m\text{，}n$を求めよ．

(3)　連立不等式${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^x{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^y\geqq {\displaystyle \frac{1}{10}}\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$の表す領域を座標平面に図示せよ．

(4)　${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^m{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\geqq {\displaystyle \frac{1}{10}}$を満たす自然数$m$と$n$の組$(m,n)$をすべて求めよ．