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2012 金沢大学 前期 理工,医薬保健学域

易□ 並□ 難□

2012年金沢大前期理工,医薬保健学域【1】の図

2 n 角形

【1】 半径 1 の円に内接する正 2 n 角形 n2 の面積を S n 周の長さを L n とする.次の問いに答えよ.

(1)  Sn= 2n- 1sin π2n- 1 Ln= 2n+1 sin π 2n を示せ.

(2)  S nSn +1 =cos π2n S nLn = 12 cos π2n を示せ.

(3)  limn Sn limn cos π22 cos π 23 cos π2n を求めよ.

(4)  limn 2n S2L 2 S3L 3 S nLn を求めよ.



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【2】 直線 l: (x, y,z) =(5 ,0,0 )+s (1 ,-1, 0) 上に点 P 0 直線 m :(x ,y,z )=( 0,0, 2)+ t( 1,0, 2) 上に点 Q0 があり, P 0Q 0 はベクトル ( 1,-1 ,0) ( 1,0, 2) の両方に垂直である.次の問いに答えよ.

(1)  P0 Q0 の座標を求めよ.

(2)  | P 0Q 0 | を求めよ.

(3) 直線 l 上の点 P 直線 m 上の点 Q について, PQ P P0 P 0Q 0 Q 0Q で表せ.また, | PQ | 2= | P P0 + Q 0Q | 2+16 であることを示せ.

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【3】 次の問いに答えよ.

(1)  f( t) 0 t1 で連続な関数とする. tanx= t とおいて,

0π4 f( tanx) cos2 x dx = 01 f( t) dt

であることを示せ.

(2) (1)を用いて, 0 以上の整数 n に対し, 0π4 tann xcos 2x dx の値を求めよ.また,

0π4 tann xdx 1n+1

を示せ.

(3)  0 以上の整数 n 0 x π4 を満たす x に対し,

1 -tan2 x+tan 4x- + (-1 )n tan 2n x cos2 x =1- (-1 )n +1 tan2 (n+ 1) x

であることを示せ.

(4) (2)と(3)を用いて, limn k=0 n (- 1)k 1 2k +1 の値を求めよ.

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【4】  n3 とする. 1 個のサイコロを n 回振る.この n 回の試行のうちで 6 の目がちょうど 2 回,しかも続けて出る確率を p n とする.次の問いに答えよ.

(1)  p3 p4 を求めよ.

(2)  pn を求め,

pn+ 1- 56 p n= ( 16 ) 2 ( 56 ) n-1

であることを示せ.

(3)  sn= p3+ p4+ +p n として, limn sn を求めよ.ただし,必要ならば, | r| <1 のとき limn nrn =0 であることは使ってよい.

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