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2012-10361-0201
2012 金沢大学 前期 理工,医薬保健学域
易□ 並□ 難□
正 2 n 角形
【1】 半径 1 の円に内接する正 2 n 角形 ( n≧2 ) の面積を S n , 周の長さを L n とする.次の問いに答えよ.
(1) Sn= 2n- 1⁢sin ⁡ π2n- 1 , Ln= 2n+1 ⁢sin⁡ π 2n を示せ.
(2) S nSn +1 =cos π2n , S nLn = 12⁢ cos⁡ π2n を示せ.
(3) limn→ ∞⁡ Sn ,limn →∞ ⁡cos⁡ π22 ⁢ cos⁡ π 23 ⁢⋯ ⁢cos⁡ π2n を求めよ.
(4) limn→ ∞⁡ 2n⁢ S2L 2⁢ S3L 3⁢ ⋯⁢ S nLn を求めよ.
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【2】 直線 l: (x, y,z) =(5 ,0,0 )+s ⁢(1 ,-1, 0) 上に点 P 0 , 直線 m :(x ,y,z )=( 0,0, 2)+ t⁢( 1,0, 2) 上に点 Q0 があり, P 0Q 0→ はベクトル ( 1,-1 ,0) と ( 1,0, 2) の両方に垂直である.次の問いに答えよ.
(1) P0 , Q0 の座標を求めよ.
(2) | P 0Q 0→ | を求めよ.
(3) 直線 l 上の点 P , 直線 m 上の点 Q について, PQ→ を P P0 → , P 0Q 0→ , Q 0Q → で表せ.また, | PQ→ | 2= | P P0 →+ Q 0Q → | 2+16 であることを示せ.
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【3】 次の問いに答えよ.
(1) f⁡( t) を 0 ≦t≦1 で連続な関数とする. tan⁡x= t とおいて,
∫ 0π4 ⁡ f⁡( tan⁡x) cos2 ⁡x⁢ dx = ∫01 ⁡f⁡( t)⁢ dt
であることを示せ.
(2) (1)を用いて, 0 以上の整数 n に対し, ∫ 0π4 ⁡ tann⁡ xcos 2⁡x ⁢ dx の値を求めよ.また,
∫ 0π4 ⁡ tann⁡ x⁢dx ≦ 1n+1
を示せ.
(3) 0 以上の整数 n と 0≦ x≦ π4 を満たす x に対し,
1 -tan2 ⁡x+tan 4⁡x- ⋯+ (-1 )n ⁢tan 2⁢n ⁡x cos2 ⁡x =1- (-1 )n +1⁢ tan2⁢ (n+ 1) ⁡x
(4) (2)と(3)を用いて, limn→ ∞⁡ ∑ k=0 n⁡ (- 1)k ⁢ 1 2⁢k +1 の値を求めよ.
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【4】 n≧3 とする. 1 個のサイコロを n 回振る.この n 回の試行のうちで 6 の目がちょうど 2 回,しかも続けて出る確率を p n とする.次の問いに答えよ.
(1) p3 ,p4 を求めよ.
(2) pn を求め,
pn+ 1- 56⁢ p n= ( 16 ) 2⁢ ( 56 ) n-1
(3) sn= p3+ p4+ ⋯+p n として, limn→ ∞⁡ sn を求めよ.ただし,必要ならば, | r| <1 のとき limn→ ∞⁡ n⁢rn =0 であることは使ってよい.