2012　金沢大学　後期理工学域数物科・電子情報学類MathJax

【１】　座標平面上に曲線$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{\frac{3}{2}}\text{（}x\geqq 0\text{）}$と円$C_2$がある．円$C_2$は$x$軸と点$\mathrm{A}(a,0)$で接し，右図のように$C_1$とただ$1$つの共有点$\mathrm{P}(3,2\sqrt{3})$をもつとする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$l$とし，$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{B}$の座標と線分$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．

(2)　円$C_2$の中心を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PBA}$と$\angle \mathrm{MBA}$を求めよ．

(3)　$a$の値と円$C_2$の半径を求めよ．

(4)　$2$直線$x=0\text{，}x=a$の間にあって，$C_1$と$C_2$と$x$軸で囲まれる部分（右図の斜線部分）の面積を求めよ．

【２】　下図のような頂点をもつ経路がある．点$\mathrm{P}$にはこれらの頂点上を動き，初めに頂点${\mathrm{A}}_0$の位置にある．赤玉，青玉がそれぞれ$a$個，白玉が$b$個入っている袋がある．その袋から玉を一つ取り出し色を調べた後で袋に戻すという試行を繰り返す．各試行において，点$\mathrm{P}$は次の規則に従って動くものとする．

(ⅰ)　赤玉が出たときには，点$\mathrm{P}$は一つ右側の頂点に移動する．

(ⅱ)　青玉が出たときには，点$\mathrm{P}$は一つ左側の頂点に移動する．

(ⅲ)　白玉が出たときには，点$\mathrm{P}$は下側の頂点にあればその真上の頂点に，上側の頂点にあればその真下の頂点に移動する．

たとえば，赤，白，白，青と順に取り出したときには，点$\mathrm{P}$は${\mathrm{A}}_0\to {\mathrm{A}}_1\to {\mathrm{B}}_1\to {\mathrm{A}}_1\to {\mathrm{A}}_0$と移動する．

　次の問いに答えよ．

(1)　$2$回の試行の後，点$\mathrm{P}$が位置する可能性のある頂点をすべて挙げよ．また，そのとき点$\mathrm{P}$が${\mathrm{A}}_0$に位置する確率を求めよ．

(2)　$6$回の試行で，赤玉が$2$個，青玉が$1$個，白玉が$3$個取り出される場合の確率を求めよ．また，このとき点$\mathrm{P}$の位置する頂点を求めよ．

(3)　$6$回の試行の後に点$\mathrm{P}$が頂点${\mathrm{A}}_0$に位置する確率を求めよ．

【３】　空間において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}},0)$と点$\mathrm{B}(-{\displaystyle \frac{1}{3}},0,{\displaystyle \frac{1}{3}})$を通る平面を$H$とする．$H$上の点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が内積について

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=1\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=0\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=1$

をみたすとする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$のそれぞれの座標を求めよ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を求めよ．

(3)　$s$と$t$を正の実数とし，$H$上の点$\mathrm{T}$を$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=s\overrightarrow{\mathrm{OP}}+t\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$により定める．点$\mathrm{T}$から直線$\mathrm{OP}$に垂線を下ろし，その垂線と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{X}$とする．同様に点$\mathrm{T}$から直線$\mathrm{OQ}$に垂線を下ろし，その垂線と直線$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{Y}$とする．点$\mathrm{X}$と点$\mathrm{Y}$のそれぞれの座標を$s$と$t$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{T}\text{，}\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$は(3)で定義した点とする．$\mathrm{H}$上の四角形$\mathrm{OXTY}$の面積を$s$と$t$を用いて表せ．

【４】　関数$g(x)$を次の式で定義する．

$g(x)=\{\begin{array}{ll}\cos (\pi x^4)+1& \text{（}-1<x<1\text{のとき）}\\ 0& \text{（}x\leqq -1\text{または}x\geqq 1\text{のとき）}\end{array}$

次の問いに答えよ．

(1)　関数$g(x)$が$x=\pm 1$で連続であることを示せ．

(2)　$c={\displaystyle {\int }_{-2}^2}g(x)dx$とおく．$c\leqq 4$であることを示せ．

(3)　${\displaystyle {\int }_{-2}^2}xg(x)dx=0$であることを示せ．

(4)　$1$次関数$f(x)=ax+b$と実数$t$に対し，$m(t)$を

$m(t)={\displaystyle \frac{1}{c}}{\displaystyle {\int }_{-2}^2}f(x)g(t-x)dx$

と定義する．ここで，$c$は(2)で定めた定数とする．このとき，$-1\leqq t\leqq 1$に対し$m(t)=f(t)$が成り立つことを示せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$x+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\tan \theta$とおいて，定積分

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{{(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}}}dx$

を置換積分法により求めよ．

(2)　等式

${\displaystyle \frac{x}{(x^2+1)(x^2+x+1)}}={\displaystyle \frac{a}{x^2+1}}+{\displaystyle \frac{b}{x^2+x+1}}$

が$x$についての恒等式となるように，定数$a\text{，}b$の値を求めよ．

(3)　定積分についての等式

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\tan \theta }{{\tan }^{2}x+\tan \theta +1}}d\theta ={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x}{(x^2+1)(x^2+x+1)}}dx$

を示し，この値を求めよ．

【２】　$f(x)=\log (1+x)\text{（}x>-1\text{）}$とする．$a$を正の実数とし，右図のように曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(t,f(t))\text{（}0<t<a\text{）}$における$C$の接線を$l$とする．また直線$l$と$x$軸，$y$軸および直線$x=a$で囲まれる台形の面積を$S(t)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S(t)$を求めよ．

(2)　$S(t)\text{（}0<t<a\text{）}$の最小値を求めよ．

(3)　極限値$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$を求めよ．

(4)　(2)で求めた最小値を$m(a)$とする．極限値$\underset{a\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{m(a)}{a^2}}$を求めよ．

（編注）2023年名古屋市立大　後期総合生命理学部 【１】で改変して活用

【３】　右図のように，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，円$C\text{：}{(x+1)}^2+y^2=1$と$C$上の点$\mathrm{A}(-{\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$がある．また，$C$の中心を$\mathrm{B}$とする．

　$C$上の点$\mathrm{P}$を$\mathrm{O}$のまわりに${\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$だけ回転させた点を$\mathrm{Q}$とし，

$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$

となるように点$\mathrm{R}$を定める．ただし，$\mathrm{P}=\mathrm{O}$のときは$\mathrm{Q}=\mathrm{O}$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{OBA}$を求めよ．

(2)　図のように，線分$\mathrm{BO}$から線分$\mathrm{BP}$へ測った角を$\theta \text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$とおく．このとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(\cos \theta -1,\sin \theta )$であることを示し，点$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{R}$は$C$上にあること，および$\angle \mathrm{PBR}={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$であることを示せ．

(4)　点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$▵\mathrm{OAR}$の面積の最大値を求めよ．ただし，点$\mathrm{R}$が$\mathrm{O}$または$\mathrm{A}$と一致するとき$▵\mathrm{OAR}$の面積は$0$であると考える．