2012 福井大学 前期

Mathematics

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2012 福井大学 前期

教育地域科学部

易□ 並□ 難□

【1】  n 2 以上の整数とし,袋の中に,白玉が 5 個,赤玉が n 個入っているとする.この袋から 2 個の玉を同時に取り出すとき,取り出した玉が白玉と赤玉 1 個ずつである確率を p n とし,また,取り出した白玉の数を X とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  pn を求めよ.

(2)  pn が最大になる n の値と,そのときの p n の値を求めよ.

(3)  X の期待値が 0.625 になるとき, n の値を求めよ.

2012 福井大学 前期

教育地域科,医学部

医学部は【1】

工学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【2】 四面体 OABC において, OA=2 OB= 2 OC =1 であり, AOB= π 2 AOC= π3 BOC= π 4 であるとする.また, 3 O A B を含む平面を α とし,点 C から平面 α に下ろした垂線と α との交点を H 平面 α に関して C と対称な点を D とする. OA =a OB =b OC =c とおくとき,以下の問いに答えよ.

(1)  OH OD a b c を用いて表せ.

(2) 四面体 OABC の体積を求めよ.

(3)  ABC の重心を G とし,面 OAB 上の点 P CP +PG を最小にする点を P0 とする.このとき, OP0 a b を用いて表し, CP0 +P 0G の値を求めよ.

2012 福井大学 前期

教育地域科学部

医学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【3】 数列 { an } は正の整数からなる数列で, a1 =1 a 3=5 a5 =41 である.また,ある定数 s t について

an+ 1=s an +t n=1 2 3

が成り立っている.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  s t の値を求めよ.

(2) 数列 { an } の一般項を求めよ.

(3) 正の整数 n に対して, Sn = k= 1n ( -1) ak ak n の式で表せ.

2012 福井大学 前期

教育地域科(理数教育コース)学部

医学部【3】の類題

易□ 並□ 難□

【4】 曲線 C y= e-x 上の点 A ( a,e -a ) における法線を l とし, l に関して点 ( a,0 ) と対称な点を B 直線 AB y 軸との交点を P とする.点 P y 座標を f (a ) とおくとき,以下の問いに答えよ.

(1)  f( a) a を用いて表せ.

(2)  a が実数全体を動くとき, f( a) の最大値とそのときの a の値を求めよ.

(3)  a を(2)で求めた値とするとき,曲線 C y 軸と線分 AP で囲まれた部分を, y 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.

2012 福井大学 前期

教育地域科(理数教育を除く学校教育課程,地域科学課程)学部

易□ 並□ 難□

【5】  t 1 以上の実数とし, f( x)= x3+ x2- (t 2+t )x -t とする.曲線 C y=f (x ) を原点に関して対称移動して得られる曲線を C1 C x 軸方向に 1 だけ平行移動して得られる曲線を C 2 とする.また, 0x 3 の範囲で,曲線 C1 C 2 y 軸および直線 x =3 で囲まれた部分の面積を S (t ) とするとき,以下の問いに答えよ.

(1) 曲線 C 1 C 2 の交点の座標をすべて求めよ.

(2)  S( t) t を用いて表せ.

(3)  t t 1 の範囲を動くとき, S( t) の最小値とそのときの t の値を求めよ.

2012 福井大学 前期

工学部

易□ 並□ 難□

【1】  n を自然数とするとき,以下の問いに答えよ.

(1) 二項定理を用いて, k= 0n Ck n = C0 n + C1 n + + C n-1 n + Cn n の値が 2 n に等しいことを示せ.

(2) 複素数 z z2- 2z+ 2=0 をみたすとき, z および z 4n の値を求めよ.

(3)  k= 02 n (- 1) k C2 k 4n = C0 4n - C2 4n + - C4 n-2 4n + C 4n 4n の値が (-4 )n に等しいことを示せ.

2012 福井大学 前期

工学部

教育地域科学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【2】 四面体 OABC において, OA=2 OB= 2 OC =1 であり, AOB= π 2 AOC= π3 BOC= π 4 であるとする.また, 3 O A B を含む平面を α とし,点 C から平面 α に下ろした垂線と α との交点を H 平面 α に関して C と対称な点を K とする. OA =a OB =b OC =c とおくとき,以下の問いに答えよ.

(1) 内積 a b b c c a を求めよ.

(2)  OH OK a b c を用いて表せ.

(3)  ABC の重心を G とし,平面 α 上の点 P GP +PC を最小にする点を P0 とする.このとき, OP0 a b を用いて表せ.また,点 P0 OAB の周または内部にあることを示せ.

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工学部

易□ 並□ 難□

【3】  t 0 t 3 をみたす実数とし,座標空間内に点 P ( t,0, 3-t 2 ) をとる. P を通り y z 平面に平行な平面を β とおく. 3 D ( 0,1, 0) E ( 0,-1 ,0) F ( -3, 0,0 ) に対し, β と直線 FD との交点を Q β と直線 FE との交点を R とする. PQR の面積を S (t ) とおくとき,以下の問いに答えよ.ただし, S( 3) =0 とする.

(1)  S( t) t を用いて表せ.

(2)  t 0 t 3 の範囲を動くとき, S( t) の最大値を求めよ.

(3)  t 0 t 3 の範囲を動くとき, PQR が通過してできる立体の体積 V を求めよ.

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工学部

易□ 並□ 難□

2012年福井大前期工学部【4】の図

【4】  xy 平面上に,曲線 C1 x=t- sint y=1 -cost 0t 2π がある. 0<t <2 π をみたす t に対し, C1 上の点 P1 ( t-sin t,1- cost ) における C 1 の法線を m とおき, x 軸と m の交点を M とし, M が線分 P1 P2 の中点になるように点 P2 をとる.このとき,以下の問いに答えよ.

(1) 直線 m の方程式を求めよ.また, M P 2 の座標を t を用いて表せ.さらに, P2 x 座標を f (t ) とおくと,関数 f (t ) は, 0<t <2π で増加することを示せ.

(2)  t 0 t2 π の範囲を動くときの P2 の軌跡を C 2 とするとき, x 軸と曲線 C 2 で囲まれた図形の面積を求めよ.ただし, t=0 2π に対しては,点 P2 をそれぞれ点 ( 0,0 ) ( 2π, 0) にとるものとする.



2012 福井大学 前期

医学部

教育地域科学部【3】の類題

易□ 並□ 難□

【2】 数列 { an } は正の整数からなる数列で, a1 =1 a 3=5 a5 =41 である.また,ある定数 s t について

an+ 1=s an +t n=1 2 3

が成り立っている.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  s t の値を求めよ.

(2) 一般項 a n を求めよ.さらに a 2n- 2 a n で割り切れることを示せ.

(3)  an+ 1 a n で割った余りを b n とする. 2 以上の正の整数 m に対して,次の和を求めよ.

k= 2m ak+ bk bk bk+ 1

2012 福井大学 前期

医学部

教育地域科学部【4】の類題

易□ 並□ 難□

【3】 曲線 C y= e-x 上の点 A ( a,e -a ) における C の法線 m と直線 l1 x=a に関して,以下の問いに答えよ.

(1)  l1 m のなす角を θ とするとき, tanθ θ を用いて表せ.ただし, 0<θ < π2 とする.

(2)  m に関して l 1 と対称な直線を l 2 とするとき, l2 の方程式を a を用いて表せ.

(3)  l2 y 軸の交点を P とおく. a が実数全体を動くとき, P y 座標の最大値とそのときの a の値を求めよ.

(4)  a を(3)で求めた値とするとき,曲線 C y 軸と線分 AP で囲まれた部分を, y 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.

2012 福井大学 前期

医学部

易□ 並□ 難□

【4】 行列 A =( 2-3 3 2 ) で表される 1 次変換を f とする. f によって,点 P0 ( 1,0 ) が移る点を P1 ( x1, y1 ) 正の整数 n に対して点 Pn ( xn, yn ) が移る点を Pn +1 ( xn+ 1, yn+ 1 ) とする.原点を O として,以下の問いに答えよ.

(1)  cos Pn OPn +1 の値を求めよ.

(2)  2 以上の整数 n で,直線 OP n が線分 P0 P1 と交わる最小の n を求めよ.

(3)  i を虚数単位とする. 0 でない整数 n に対して,実数 an bn ( 2+3 i)n =an +bn i により定める.このとき次の等式

An =( an -bn b na n )

0 でないすべての整数 n に対して成り立つことを証明せよ.ただし,正の整数 m に対し, A-m = (A m) -1 とする.