2012　山梨大学　前期MathJax

【１】

(1)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$について，$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}\left|\overrightarrow{b}\right|=5\text{，}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3$である．このとき，$\overrightarrow{p}=3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$の大きさ$\left|\overrightarrow{p}\right|$を求めよ．

【１】

(2)　条件$\{\begin{array}{l}1\leqq x-2y\leqq 3\\ 0\leqq x+y\leqq 1\end{array}$の表す領域$D$を図示せよ．

【１】

(3)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，不等式$3\sin \theta -1<\cos 2\theta$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．

【１】

(4)　平面上に点$\mathrm{A}(1,1)\text{，}\mathrm{B}(-1,-1)$がある．点$\mathrm{P}$が曲線$y=x^3$の$0<x<1$の部分を動くとき，$▵\mathrm{ABP}$の面積の最大値を求めよ．

【２】　$a$を定数，$h$を正の定数とし，放物線$C\text{：}y=x^2$と直線$x=a$との交点を$\mathrm{P}\text{，}$放物線$C$と直線$x=a+h$との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，直線$\mathrm{PQ}$に平行で放物線$C$に接する直線を$l$とする．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　直線$l$と直線$x=a$との交点を$\mathrm{R}\text{，}$直線$l$と直線$x=a+h$との交点を$\mathrm{S}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と放物線$C$に囲まれた図形の面積を$A_1\text{，}$四角形$\mathrm{PRSQ}$の面積を$A_2$としたとき，${\displaystyle \frac{A_1}{A_2}}$の値は$a$と$h$に無関係に一定となることを示せ．

【３】　次の条件で定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=3\text{，}n{a}_{n+1}=3(n+1)a_n+2n(n+1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_2\text{，}{a}_3$を求めよ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{n}}$と定めるとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．

(3)　一般項$a_n$を求めよ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

【１】　次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を解答欄に記入せよ．

(1)　関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは，すべての$x$で等式$\boxed{\text{ア}}$が成立することである．関数$g(x)={\sin }^2(5x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$の正の最小の周期は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を解答欄に記入せよ．

(2)　実数$x$が$-\pi <x\leqq \pi$のとき，無限級数${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\mathrm{siin}}^{k}x$が収束する条件は，$x$の値が$\boxed{\text{ウ}}$以外のときであり，収束するときの無限級数の和は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を解答欄に記入せよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_{-10}^0}{\displaystyle \frac{1}{(x+11)(x+12)}}dx=\boxed{\text{オ}}$であり，${\displaystyle {\int }_{-10}^0}\log (x+11)dx=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を解答欄に記入せよ．

(4)　楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち，$y$座標が大きい方の座標は$\boxed{\text{キ}}$である．この楕円の長軸の長さは$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を解答欄に記入せよ．

(5)　関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし，区間$[0,1]$を$n$等分した小区間を，$[{\displaystyle \frac{0}{\pi }},{\displaystyle \frac{1}{n}}]\text{，}[{\displaystyle \frac{1}{n}},{\displaystyle \frac{2}{n}}]\text{，}\cdots \text{，}[{\displaystyle \frac{n-1}{n}},{\displaystyle \frac{n}{n}}]$とする．各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる．$k$番目の小区間$[{\displaystyle \frac{k-1}{k}},{\displaystyle \frac{k}{n}}]$において，長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき，この小区間での長方形の面積は$\boxed{\text{ケ}}$となり，それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする．また，$k$番目の小区間$[{\displaystyle \frac{k-1}{n}},{\displaystyle \frac{k}{n}}]$において，長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする．このとき，$S_n-s_n$は$\boxed{\text{コ}}$となる．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　多項式$f(x)$を$x-1$で割ると$3$余り，$x-2$で割ると$2$余るとき，$f(x)$を$(x-1)(x-2)$で割ったときの余りを求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(2)　不等式$0<\log (x^2-4x+3)-\log (x^2-6x+8)<\log 2$を満たす$x$の範囲を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(3)　$f(x)$が等式$f(x)=x^2+{\displaystyle {\int }_0^x}{f}^{\prime }(t)e^{t-x}dt$を満たしているとき，$f(x)$を求めよ．

【３】　円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$と点$\mathrm{A}(x_0,0)$があり，$0<x_0<1$とする．原点$\mathrm{O}$と円$C$上の点$\mathrm{B}$を通る直線$l_1$と線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線$l_2$の交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{B}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．また，その方程式が表す図形を右の座標平面上に図示せよ．

【４】　自然数$n$に対して，$S_n={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\sin }^{n}xdx$とする．

(1)　$S_1$および$S_2$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{S_{n+2}}{S_n}}={\displaystyle \frac{n+1}{n+2}}$を示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }n{S}_n{S}_{n+1}$を求めよ．

【５】　実数を成分とする行列$M=\left(\begin{array}{cc}1& b\\ b& 1-a\end{array}\right)\text{，}{M}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}1& b^{\prime }\\ b^{\prime }& 1-a^{\prime }\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$が$M{M}^{\prime }=M^{\prime }M\text{，}a\ne 0\text{，}{a}^{\prime }\ne 0$を満たし，$P^{-1}MP$が対角行列であるとする．ここで，対角行列とは$\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right)$の形の行列である．

(1)　$a\text{，}b\text{，}{a}^{\prime }\text{，}{b}^{\prime }$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)　$\tan 2\theta$を$a\text{，}b$を用いた式で表せ．

(3)　$P^{-1}{M}^{\prime }P$が対角行列であることを示せ．