2012　山梨大学　後期MathJax

$x_n=\{\begin{array}{ll}{x}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}{d}_n& \text{（}{f}^{\prime }(x_{n-1})<0\text{のとき）}\\ x_{n-1}& \text{（}{f}^{\prime }(x_{n-1})=0\text{のとき）}\\ x_{n-1}-{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}{d}_n& \text{（}{f}^{\prime }(x_{n-1})>0\text{のとき）}\end{array}$

および$y_n=f(x_n)$とし，$y_n$の期待値を$e_n$とする．

(1)　$x_{1000}>10$となる確率が$0$になることを示せ．

(2)　$e_1\text{，}{e}_2$を求めよ．

(3)　$1\leqq n<1000$となる自然数$n$に対して，$e_n\geqq e_{n+1}$が成り立つことを示せ．

(1)　$X(k)$は有限集合であることを示せ．また，$X(1)$の要素をすべて求めよ．

(2)　$k=2\text{，}4$に対して，$X(k)$の要素の個数をそれぞれ求めよ．

(3)　自然数$r$に対して，$X(2^r)$の要素の個数を求めよ．

(1)　微分可能な関数$f(x)$で，次の条件(ⅰ)，(ⅱ)をともに満たす例を$1$つあげよ．

(ⅰ)　すべての実数$x$に対して，$f(x)>0$かつ$f^{\prime }(x)>0$が成り立つ．

(ⅱ)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}=\infty$かつ$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}=\infty$が成り立つ．

(2)　関数$f(x)\text{，}g(x)$は，すべての実数$x$に対して$f(x)>0$かつ$g(x)>0$を満たし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}=\infty$かつ$\underset{x\to \infty }{\lim }g(x)=\infty$が成り立つと仮定する．このとき，次の条件(ⅰ)，(ⅱ)をともに満たす関数$h(x)$の例を$f(x)\text{，}g(x)$を用いて$1$つ作れ．

(ⅰ)　すべての実数$x$に対して，$h(x)>0$が成り立つ．

(ⅱ)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{h(x)}}=\infty \text{，}\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{h(x)}{g(x)}}=\infty \text{，}\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\{h(x)\}}^4}{{\{f(x)\}}^3}}=\infty$が成り立つ．