2012　信州大学　前期　経済，理，医MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数とするとき，$4^{2n-1}+3^{n+1}$は$13$の倍数であることを示せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{5-\sqrt{19}}}$の整数部分を$\alpha \text{，}$小数部分を$\beta$とするとき$\alpha \text{，}\beta$を求めよ．また${\alpha }^2-18{\beta }^2$を求めよ．

【２】　次の$3$条件をすべてみたす$xy$平面上の円$C$が存在するような実数$t$を求めよ．

(ⅰ)　円$C$の半径は$3$である．

(ⅱ)　円$C$は$x$軸に接する．

(ⅲ)　点$\mathrm{P}(t,t^2)$は円$C$上にあり，点$\mathrm{P}$における円$C$の接線の方程式は$y=2tx-t^2$である．

【３】　さいころを$1000$回投げるとき，$1$の目がちょうど$k$回出る確率を$P_k$とおく．$P_k$が最大となる$k$を求めよ．

【４】　実数$a$は$a>-1$とする．関数$f(x)=3x^3-7x^2+5x-1$に対し，

$-1<c<a\text{，}{\displaystyle \frac{f(a)-f(-1)}{a+1}}=f^{\prime }(c)$

となる$c$がちょうど$2$つ存在するような$a$の値の範囲を求めよ．

【５】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$は次の条件(ⅰ)，(ⅱ)をみたすものとする．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　次の関係式をみたす実数$x\text{，}y$は$x=y=0$に限ることを示せ．

$xA+yE=O$

(2)　自然数$n$に対し，$A^n$はある実数$x_n\text{，}{y}_n$を用いて，$A^n=x_{n}A+y_{n}E$の形で表せることを示し，数列$\{x_n-y_n\}\text{，}\{2x_n+y_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　自然数$n$に対し，$A^n=\left(\begin{array}{cc}{p}_n& q_n\\ r_n& s_n\end{array}\right)$とおく．$p_n+s_n$を求めよ．

【６】　次の問いに答えよ．

(1)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対し，

$x<\tan x$

となることを示せ．

(2)　$x>0$に対し，

$\log (x+\sqrt{1+x^2})>\sin x$

となることを示せ．ただし，対数は自然対数である．

【７】　$-\sqrt{5}\leqq x\leqq \sqrt{5}$で定義される$2$つの関数

$f(x)=\sqrt{|x|}+\sqrt{5-x^2}$

$g(x)=\sqrt{|x|}-\sqrt{5-x^2}$

に対し，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$と$g(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．