2012　信州大学　後期　理学部数IAIIBMathJax

【１】　三角形$$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線上の点$\mathrm{P}$について，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$はある実数$k$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k({\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{\left|\overrightarrow{a}\right|}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{b}\right|}})$

と表されることを示せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$は$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|={\displaystyle \frac{4}{5}}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{16}{25}}$をみたすとする．$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線と$\angle \mathrm{OAB}$の外角の$2$等分線との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【２】　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$と円$x^2+y^2+2y=0$の両方に接する直線のうち，傾きが正のものを$l_1\text{，}$負のものを$l_2$と表す．このとき，放物線と$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　次の関係式

$a_1=3\text{，}{a}_n{a}_{n+1}=5\cdot 2^{2n-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義される数列$|a_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　$1$の数字が書かれたカードが$2$枚，$2$の数字が書かれたカードが$2$枚，$\cdots \text{，}5$の数字が書かれたカードが$2$枚の計$10$枚のカードがある．

(1)　この$10$枚のカードから同時に$3$枚のカードを取り出すとき，次の確率を求めよ．

(ⅰ)　$3$枚のカードの中に同じ数字のカードがある確率．

(ⅱ)　$3$枚のカードの数字が，連続するように並べ得るものである確率．ただし，ここで連続するとは，異なる$3$つの数が$2\text{，}3\text{，}4$のように並ぶこととする．

(2)　さらに白紙のカードを$1$枚加えた$11$枚のカードから同時に$3$枚取り出すとき，$3$枚のカードの数字が，連続するように並べ得るものである確率を求めよ．ただし，白紙のカードを取り出した場合には，それには$1$から$5$までのどの整数でも書けるものとする．