2012　信州大学　後期　理学部数IIIC医MathJax

【１】　$n$を自然数とするとき，行列${\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& 1\\ 0& 2\end{array}\right)}^n$を求めよ．

【２】　実数$a$は$0<a<1$とする．関数$f(x)=x\log (x^2+a^2)$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$が極小値をとる点はただ$1$つであることを示せ．

(2)　$x\geqq 0$の範囲で，$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．

【３】　方程式

$4x{e}^{-x}=1$

は，$x>0$の範囲にちょうど$2$つの解をもつことを示せ．さらに，それらを$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とすると，

${\displaystyle \frac{1}{3}}<\alpha <{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}1<\beta$

であることを示せ．ただし，自然対数の底$e$の値は$2.718\cdots$である．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数とするとき，次の不等式を証明せよ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{2(4k^2+6k+1)}{(2k+2)!}}<1$

(2)　次の不等式をみたす最小の自然数$n$を求めよ．

${\displaystyle \frac{999}{1000}}<{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{2(4k^2+6k+1)}{(2k+2)!}}$

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$a^2+b^2=121212$となる整数の組$(a,b)$は存在しないことを証明せよ．

【３】　関数$f(x)$は，ある区間$0<x<\alpha$上で定義され，次の$3$条件をみたす．

(ⅰ)　$f(x)>0$

(ⅱ)　$f^{\prime }(x)<0$

(ⅲ)　$f^{\prime }(x)>-{\displaystyle \frac{x}{f(x)}}$

曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(t,f(t))$における接線$l$と法線$m$の$x$軸との交点を，それぞれ$\mathrm{A}(a(t),0)\text{，}\mathrm{B}(b(t),0)$とする．$x$軸上の点$\mathrm{Q}(q(t),0)$を，$\angle \mathrm{OPQ}$の$2$等分線が直線$\mathrm{BP}$に一致するような点とする．ただし，点$\mathrm{O}$は原点である．

次の問いに答えよ．

(1)　$q(t)={\displaystyle \frac{2a(t)b(t)}{a(t)+b(t)}}$を示せ．

(2)　$\alpha =\sqrt{2}$かつ$f(x)=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}}$のとき，$\underset{t\to \sqrt{2}-0}{\lim }q(t)$を求めよ．