2012　信州大学　後期　繊維学部MathJax

【１】　次の(1)〜(2)の問いに答えよ．

(1)　$\sin (3\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{12}})+\sin (\theta -{\displaystyle \frac{7}{12}}\pi )>0$を満たす$\theta$の範囲を求めよ．ただし，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【１】　次の(1)〜(2)の問いに答えよ．

(2)　$f(x)=3x^2+2x+5$と$g(x)=2x^3+5$の大小関係を示せ．ただし，$-1\leqq x\leqq 1$とする．

【２】　$y=2+3{\sin }^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+{\cos }^{2}x$の最大値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．ただし，$0\leqq x\leqq \pi$とする．

【３】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円と，中心${\mathrm{O}}^{\prime }$が$x$軸上にある半径$1$の円が図のように接している．それぞれの円周上に点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$があり，円周上を反時計回りに動くものとする．線分$\mathrm{OP}$と$y$軸の正方向のなす角，および，線分${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{Q}$と$x$軸の正方向のなす角がともに$\theta$であるとし，$\theta$が$0$から$2\pi$まで変化するときの線分$\mathrm{PQ}$の長さについて考える．

次の(1)〜(4)の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\theta$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$の長さが極値をとるときの$\tan \theta$の値を求めよ．

(4)　線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．

【４】　次の(1)〜(2)の問いに答えよ．

(1)　$\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}=t$とおくことにより，$\sin x$を$t$を用いて表せ．

(2)　曲線$y=\log (\sin x)({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の長さ$L$を求めよ．