2012　岐阜大学　前期MathJax

【１】　四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=1\text{，}\mathrm{BC}=\mathrm{DA}=3$であり，対角線$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BD}$の長さをそれぞれ$x\text{，}y$とする。以下の問に答えよ．

(1)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$x$を用いて表せ．また，$S$の最大値$S_0$を求めよ．

(2)　面積が${\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_0$である四角形$\mathrm{ABCD}$に対して$x^2\text{，}{y}^2$の値を求めよ．ただし，$x\leqq y$とし，$S_0$は(1)で求めたものとする．

(3)　$\cos \angle \mathrm{ACB}$を$x$で表せ．また，$\angle \mathrm{ACB}$が最大となる$x$の値を求めよ．

【２】　$1$から$8$までの番号が$1$つずつ重複せずに書かれた$8$個の玉が，箱の中に入っている．$1$回目の操作として，箱から$3$個の玉を同時に取り出し，最大番号と最小番号の玉は箱に戻さず，残りの$1$個を箱に戻す．この状態から$2$回目の操作として，さらに箱から$3$個の玉を同時に取り出す．$1$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_1\text{，}2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_2$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$n_1\geqq 3$となる確率を求めよ．

(2)　$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の中に，$5$の番号が書かれた玉が含まれる確率を求めよ．

(3)　$n_1+n_2\leqq 11$となる確率を求めよ．

【３】　鋭角三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}\geqq \mathrm{OB}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．実数$t\text{，}s$を$0<t<1\text{，}0<s<1$とする．辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$の比に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$s:(1-s)$の比に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$\mathrm{AQ}$と直線$\mathrm{BP}$との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t\text{，}s\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$t\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を用いて$s$を表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$s\geqq t$となることを示せ．このとき，$s=t$ならば$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$となることを示せ．

【４】　$a$を$a>1$である実数とする．関数$f(x)=2a^{3x+1}-a^{2x+2}-2a^{2x}+a^{x+1}$について，以下の問に答えよ．

(1)　$a>\sqrt{2}$とする．$f(x)\leqq 0$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a\leqq \sqrt{2}$とする．$f(x)\leqq 0$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

【５】　$a$を正の実数とする．$xy$平面上に放物線$C\text{：}y=x^2-2ax+a^2+1$と$2$つの直線$l_1\text{：}y=-2ax+6\text{，}{l}_2\text{：}y=2$がある．$l_1$と$l_2$の交点が不等式$y>x^2-2ax+a^2+1$の表す領域にあるとき，以下の問に答えよ．

(1)　$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$C$と$l_1$の$2$つの交点の$x$座標，$C$と$l_2$の$2$つの交点の$x$座標をそれぞれ求めよ．

(3)　$C$と$l_1$の$2$つの交点間の距離を求めよ．

(4)　(3)で求めた距離が最大となるときの$a$の値を求めよ．

【４】　数列$\{x_n\}$を

$x_1=1\text{，}{x}_{n+1}=x_x+x_n(1-\log x_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定めることにする．$e$を自然対数の底として，以下の問に答えよ．

(1)　実数$x$が$0<x<e$のとき，${\displaystyle \frac{1}{e}}(e-x)<1-\log x<{\displaystyle \frac{1}{x}}(e-x)$となることを示せ．

(2)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，$1\leqq x_n<e$であることを示せ．

(3)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，$e-x_{x+1}<(1-{\displaystyle \frac{1}{e}})(e-x_n)$であることを示せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=e$であることを示せ．

【５】　$a$を正の実数とする．$t$を媒介変数として

$x(t)=\cos 2t\text{，}y(t)=\sin at\text{（}-\pi \leqq t\leqq \pi \text{）}$

で表される曲線$C$について，以下の問に答えよ．

(1)　$a=1$とする．$C$を$x$と$y$の方程式で表し，その概形を$xy$平面上にかけ．

(2)　$a=2$とする．$C$を$x$と$y$の方程式で表し，その概形を $xy$平面上にかけ．

(3)　定積分

${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}x(t)y^{\prime }(t)dt$

の値を，$a\ne 2$と$a=2$のそれぞれの場合について求めよ．

(4)　(3)で求めた定積分の値を$a$の関数と考えて$P(a)={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}x(t)y^{\prime }(t)dt$とおく．$\underset{a\to 2}{\lim }P(a)$の値を求めよ．

(5)　$P(a)$が$a=2$において連続かどうか理由を付けて答えよ．