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2012 岐阜大学 後期

教育,工,医(医)学部

配点率20%

易□ 並□ 難□

【1】  a を実数とし, f( x)= x3+ ax2 (a 2-1 )x +1 とおく. f( x) は極大値と極小値をもつとする.以下の問に答えよ.

(1)  a の値の範囲を求めよ. x=p q p<q で極値をとるとし, p+q p q a を用いて表せ.

(2) (1)で定めた p q に対して,

I= 1q-p pq f( x) dx

a を用いて表せ.

(3) (2)で求めた I a の関数とみて I ( a) とおく.(1)で求めた範囲において, I( a) の極大値と極小値を求めよ.

(4) (1)で求めた範囲において,(3)で定めた I ( a) のとりうる値の範囲を求めよ.

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教育,工,医(医)学部

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【2】 異なる自然数 i1 i 2 i3 in 1 つずつ重複せず書かれている n 枚のカードがある.ここで n 3 i1< i2< i3< <i n とする.この n 枚のカードを用いて A 君と B 君の 2 人が次のルールでゲームをする.カードの数字が見えない状態でまず A 君がこの n 枚のカードから 1 枚を取り,残りの n -1 枚から B 君がカードを 2 枚取る. A 君のカードの数字が B 君のカードの数字の和の半分より大きいときは A 君の勝ち,小さいときは B 君の勝ち,同じときは引き分けとする.ゲームを 1 回行うとき, A 君の勝つ確率を P A (i1 ,i2 ,i3 ,, in ) B 君の勝つ確率を PB ( i1, i2, i3, ,i n) 引き分ける確率を PC ( i1, i2, i3, ,i n ) と書く.以下の問に答えよ.

(1)  n=5 ik= k k=1 2 3 4 5 とする. PA ( 1,2, 3,4, 5) P B (1, 2,3, 4,5 ) および PC (1 ,2,3 ,4,5 ) を求めよ.

(2)  ik =k k=1 2 3 n とする. PC ( 1,2, 3,, n) を求めよ.

(3) 自然数 i1 i 2 i 3 in 2 in i 1<i 2<i 3< <in が書かれている n +1 枚のカードで同じゲームをする.このとき, PA ( i1, i2, i3, , in, 2in ) PA ( i1, i2, i3, , in ) PB ( i1, i2, i3, , in ) を用いて表せ.また, PB ( i1, i2, i3, , in, 2in ) PA ( i1, i2, i3, , in ) PB ( i1, i2, i3, , in ) を用いて表せ.

(4)  n=8 ik= 2k- 1 k= 1 2 3 8 とする. PA ( i1, i2, i3, , i8 ) PB ( i1, i2, i3, , i8 ) を求めよ.

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【3】  θ 0 θ π 2 とする.分数式 fn (x ) n=1 2 3

f1 (x )= x cos θ-sin θx sinθ +cosθ f n( x)= f n-1 ( x) cos θ-sin θf n-1 ( x) sinθ+ cosθ n= 2 3 4

を満たしているとする.以下の問に答えよ.

(1)  f2 (x )= x cos2 θ-sin 2θ xsin 2θ +cos2 θ を示せ.

(2) 数学的帰納法を用いて, fn (x )= x cosn θ-sin nθ x cosn θ+sin nθ n=1 2 3 を示せ.

(3)  pn ( x)= xcos nθ -sinn θ q n( x)= xsin nθ+ cosn θ とおく.

(ⅰ)  xp 3( x)+ q3 (x )=0 x についての恒等式となるような θ を求めよ.

(ⅱ)  xp 4( x)+ q4 (x )=0 x についての恒等式となるような θ を求めよ.

(ⅲ)  n を自然数とする. xp n( x)+ qn (x )=0 x についての恒等式となるような θ の個数を求めよ.

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【4】 関数 y =( logx )2 について,以下の問に答えよ.

(1) 関数 y =( logx )2 の増減,極値,グラフの凹凸と変曲点を調べて,そのグラフをかけ.

(2) 関数 y =( logx )2 のグラフ上の点 ( t,( logt )2 ) を通る接線が点 A ( 0,a ) を通るとき a t を用いて表せ.

(3) 点 A ( 0,a ) から関数 y =( logx )2 のグラフへ異なる 2 本の接線が引けるような a の値の範囲を求めよ.

(4)  a が(3)で求めた範囲の値をとるとき,点 A ( 0,a ) から関数 y =( logx )2 のグラフへ引いた異なる 2 本の接線が直交するような a の値を求めよ.

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【5】  b0 とする.自然数 n と行列 A =( ab c d ) に対する条件 ( Cn )

( Cn )  「 A n は単位行列 E の実数倍である」

とし, p=a+ d q=a d-b c とする.以下の問に答えよ.ただし,必要ならば次の等式

A2 =pA -qE

が成り立つことを用いてもよい.

(1) 実数 x y x A+y E=O を満たすならば, x=y =0 であることを示せ.ただし O は零行列を表す.

(2)  ( C2 ) が成り立つための必要十分条件を p q を用いて表せ.また, (C 3) が成り立つための必要十分条件を p q を用いて表せ.

(3)  (C 2) が成り立たず,かつ (C 4) が成り立つための必要十分条件を p q を用いて表せ.

(4)  A=( 1 1 -11 ) のとき, A+A 2+A 3+ +A2012 を求めよ.

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