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2012-10461-0101
2012 静岡大学 前期
教育,理(生物科,地球科学科),農学部
理(数,物理,化学科),工学部【1】の類題
配点25%
易□ 並□ 難□
【1】 放物線 y =x2 上の 2 点 A ( a,a2 ) ,B ( b,b2 ) ( a<0< b ) における接線の交点を C とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 点 C の座標を a , b を用いて表せ.
(2) ▵ABC が正三角形のとき, a ,b の値を求めよ.
(3) ▵ABC が ∠ A を直角とする直角三角形のとき, a ,b の値を求めよ.
2012-10461-0102
教育,理(数,生物科,地球科学科),農学部
【2】 四面体 ABCD がある. ▵ABC , ▵ABD の重心をそれぞれ E ,F とおき,線分 DE と線分 CF の交点を G とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 線分 DE と線分 CF が交わる理由を述べよ.
(2) O を空間内の定点とし, a→ =OA → ,b →= OB→ , c→ =OC → ,d →= OD→ とおく.このとき OG → を a→ , b→ , c→ , d→ を用いて表せ.
(3) A ( 0,0, 4) ,B ( -1,3 ,0) ,C ( 3,0, 0) ,D ( -2,- 3,0 ) のとき, ∠AGB , ∠BGC , ∠CGA の大小関係を不等号を用いて表せ.
2012-10461-0103
教育,理(物理,化,生物科,地球科学科),工,情報,農学部
【3】 ある工場では,昼間にタンクの水を使用し,夜間に水を補給する.毎日,朝の水量のうち 10⁢ % が使用され,その日の夜に 200 リットルが補給される.操業 1 日目の朝の始業前には,タンクの水量が 8000 リットルであった.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 3 日目の朝の始業前のタンクの水量を求めよ.
(2) n 日目の朝の始業前のタンクの水量を a n リットルとするとき, an+ 1 を a n で表せ.
(3) 朝の始業前のタンクの水量がはじめて 2400 リットル未満になるのは,何日目の朝か.ただし, log10 ⁡2=0.3010 , log10 ⁡3= 0.4771 とする.
2012-10461-0104
【4】 関数
y=4 ⁢cos⁡ x⁢sin⁡ 2⁢x -3⁢ 3⁢cos ⁡2⁢ x-8⁢ sin⁡x+ 3
について,次の問いに答えよ.
(1) t=sin ⁡x とおき, y を t の関数として表せ.
(2) 0≦x <2⁢ π のとき, y の最大値とそのときの x の値,および, y の最小値とそのときの x の値を求めよ.
2012-10461-0105
理(物理,化学科),工,情報学部
教育,理(数,生物科,地球科学科),農学部【1】の類題
(3) ▵ABC が直角三角形となるような a ,b の組をすべて求めよ.
2012-10461-0106
理(数,物理,化学科),工,情報学部
理(数学科)学部は【3】
【2】 行列 A =( ab c d ) が
A2 -4⁢A +3⁢E =O
を満たしている.ただし, E は 2 次の単位行列, O は 2 次の零行列とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) a+d のとり得るすべての値を求めよ.
(2) a が整数で b =c となるような A をすべて求めよ.
2012-10461-0107
【4】 x>0 に対して f⁡( x)= ∫ xx+1 log⁡ t⁢dt とおき, y=f ⁡(x ) のグラフを C とする.このとき,次の問いに答えよ.ただし limx→ +0 x⁢log⁡ x=0 を使ってよい.
(1) f⁡( x) と f ′⁡( x) をそれぞれ求めよ.
(2) 定積分 ∫ 12 f⁡( x)⁢ dx を求めよ.
(3) k≧0 を定数とする.直線 y =k⁢ (x+ 1) と曲線 C が共有点をもつための条件を求めよ.
2012-10461-0108
理(数学科)学部
教育,理(物理,化,生物科,地球科学科),工,情報,農学部【1】の類題
(2) ▵ABC が正三角形のとき, a ,b の値を求めよ.またそのとき,線分 AC , BC と放物線 y =x2 で囲まれた図形の面積を求めよ.
2012-10461-0109
【4】 a1 を π 12< a1 < π4 を満たす数とし, {a n } を
an+ 1= 1-sin⁡ an ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ )
で定められる数列とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 直線 y =1-x と曲線 y =sin⁡x は, π 12< x< π4 の範囲でただ 1 つの交点をもつことを示せ.
(2) n を自然数とするとき,不等式 π 12< an< π 4 を示せ.
(3) (1)の交点の x 座標を α とするとき, limn →∞ an =α が成り立つことを示せ.