2012　静岡大学　前期MathJax

【１】　放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)\text{（}a<0<b\text{）}$における接線の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{C}$の座標を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$が正三角形のとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{A}$を直角とする直角三角形のとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{ABCD}$がある．$▵\mathrm{ABC}\text{，}▵\mathrm{ABD}$の重心をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とおき，線分$\mathrm{DE}$と線分$\mathrm{CF}$の交点を$\mathrm{G}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{DE}$と線分$\mathrm{CF}$が交わる理由を述べよ．

(2)　$\mathrm{O}$を空間内の定点とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とおく．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{A}(0,0,4)\text{，}\mathrm{B}(-1,3,0)\text{，}\mathrm{C}(3,0,0)\text{，}\mathrm{D}(-2,-3,0)$のとき，$\angle \mathrm{AGB}\text{，}\angle \mathrm{BGC}\text{，}\angle \mathrm{CGA}$の大小関係を不等号を用いて表せ．

【３】　ある工場では，昼間にタンクの水を使用し，夜間に水を補給する．毎日，朝の水量のうち$10\mathrm{\%}$が使用され，その日の夜に$200$リットルが補給される．操業$1$日目の朝の始業前には，タンクの水量が$8000$リットルであった．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$3$日目の朝の始業前のタンクの水量を求めよ．

(2)　$n$日目の朝の始業前のタンクの水量を$a_n$リットルとするとき，$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．

(3)　朝の始業前のタンクの水量がはじめて$2400$リットル未満になるのは，何日目の朝か．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【４】　関数

$y=4\cos x\sin 2x-3\sqrt{3}\cos 2x-8\sin x+\sqrt{3}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$t=\sin x$とおき，$y$を$t$の関数として表せ．

(2)　$0\leqq x<2\pi$のとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値，および，$y$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

【１】　放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)\text{（}a<0<b\text{）}$における接線の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{C}$の座標を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$が正三角形のとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$が直角三角形となるような$a\text{，}b$の組をすべて求めよ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が

$A^2-4A+3E=O$

を満たしている．ただし，$E$は$2$次の単位行列，$O$は$2$次の零行列とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a+d$のとり得るすべての値を求めよ．

(2)　$a$が整数で$b=c$となるような$A$をすべて求めよ．

【４】　$x>0$に対して$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}\log tdt$とおき，$y=f(x)$のグラフを$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$を使ってよい．

(1)　$f(x)$と$f^{\prime }(x)$をそれぞれ求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_1^2}f(x)dx$を求めよ．

(3)　$k\geqq 0$を定数とする．直線$y=k(x+1)$と曲線$C$が共有点をもつための条件を求めよ．

【１】　放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)\text{（}a<0<b\text{）}$における接線の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{C}$の座標を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$が正三角形のとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BC}$と放物線$y=x^2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{A}$を直角とする直角三角形のとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

【４】　$a_1$を${\displaystyle \frac{\pi }{12}}<a_1<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たす数とし，$\{a_n\}$を

$a_{n+1}=1-\sin a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められる数列とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$y=1-x$と曲線$y=\sin x$は，${\displaystyle \frac{\pi }{12}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の範囲でただ$1$つの交点をもつことを示せ．

(2)　$n$を自然数とするとき，不等式${\displaystyle \frac{\pi }{12}}<a_n<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を示せ．

(3)　(1)の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\alpha$が成り立つことを示せ．