2012　静岡大学　後期MathJax

【１】　関数$f(x)=x(1+x^2)e^{-x^2}\text{（}-2\leqq x\leqq 2\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．

(2)　曲線$y=f(x)\text{，}x$軸，および，$2$直線$x=2\text{，}x=-2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　自然数 $n$に対して$f_n(x)=1-x+x^2-x^3+\cdots +{(-1)}^{n-1}{x}^{n-1}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x\geqq 0$のとき，$|f_n(x)-{\displaystyle \frac{1}{x+1}}|\leqq x^n$が成り立つことを示せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(x)dx={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{x+1}}dx$が成り立つことを示せ．

(3)　$a_n=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}+\cdots +{\displaystyle \frac{{(-1)}^{n-1}}{n}}$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【１】　関数$f(x)=x(5-4x^2)e^{-x^2}$（$x$は実数）について，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．ただし，$n$を自然数とするとき$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^n{e}^{-x^2}=0$であること，および，$2.7<e<2.8$であることを使ってよい．

(2)　$x$軸と$y=f(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　数列$1\text{，}2\text{，}2\text{，}3\text{，}3\text{，}3\text{，}4\text{，}4\text{，}4\text{，}4\text{，}5\text{，}5\text{，}5\text{，}5\text{，}5\text{，}6\text{，}\cdots$の第$n$項を$a_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_n=M$であるとき，$n$の範囲を$M$の式で表せ．

(2)　$a_n=M$であるとき，$M$の範囲を$n$の式で表せ．

(3)　$a_{1000}$を求めよ．

【４】　$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=4\text{，}\mathrm{CA}=5$である直角三角形$\mathrm{ABC}$がある．この三角形の外接円をかき，$\mathrm{AC}$に対して$\mathrm{B}$と反対側の円周上に点$\mathrm{D}$をとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{ABD}=\theta$とするとき，$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BD}\text{，}\mathrm{CD}$をそれぞれ$\theta$の三角比を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{AD}+\mathrm{BD}+\mathrm{CD}$の最大値を求めよ．

(3)　$\mathrm{AD}+\mathrm{BD}+\mathrm{CD}$が最大となるとき，$▵\mathrm{ACD}$の面積$S$を求めよ．

【５】　双曲線${\displaystyle \frac{x^2}{9}}-{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$を$H$とし，$H$の$x>0$の部分を$H_1\text{，}H$の$x<0$の部分を$H_2$とする．また，$l$を点$\mathrm{P}(2,0)$を通る傾き$m$の直線とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$が$H$と共有点を$2$個もつような$m$の範囲を求めよ．

(2)　直線$l$が$H_1$と$H_2$の両方と共有点をもつような$m$の範囲を求めよ．

(3)　直線$l$と$H_1$の共有点を${\mathrm{P}}_1$とし，$l$と$H_2$の共有点を${\mathrm{P}}_2$とする．このとき，線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の中点$\mathrm{M}$は，ある$2$次曲線$C$の上を動く．$C$の方程式を求めよ．

(4)　(3)で求めた$2$次曲線$C$の焦点の座標を求めよ．

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$について，$a+d=0\text{，}ad-bc=-1$が成り立っているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A^2$を求めよ．

(2)　$X\text{，}Y$を$A=X-Y\text{，}{A}^2=X+Y$を満たす行列とする．このとき，すべての自然数$n$について$A^n=X+{(-1)}^{n}Y$が成り立つことを示せ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の$\mathrm{C}$を超える延長上に点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$を通る直線が辺$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{AB}$と点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$でそれぞれ交わっている．ただし，$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$は$▵\mathrm{ABC}$の頂点ではないとする．このとき，メネラウスの定理

(＊)　${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}}=1$

が成り立つことを次の手順で示せ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{q}$とおき，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=k:(1-k)$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$を$k\text{，}\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=s\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BP}}=t\overrightarrow{q}\text{（}0<s<1\text{，}1<t\text{）}$とし，$\mathrm{RQ}:\mathrm{QP}=l:(1-l)$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$を$l\text{，}s\text{，}t\text{，}\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}$を用いて表せ．

(3)　(1)と(2)の結果を用いて，(＊)が成り立つことを示せ．