2012　浜松医科大学　前期医学部MathJax

【１】　関数$f(x)=1+\sin x+{\sin }^{2}x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$y=f(z)$の増減表を作成し，極値を求めよ．

(2)　$x={\displaystyle \frac{5}{12}}\pi$のとき，和$\sin x+\cos x$と積$\sin x\cos x$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　次の不等式(ⅰ)，(ⅱ)がそれぞれ成り立つことを証明せよ．また，等号がいつ成立するか，それぞれ調べよ．

(ⅰ)　$f(x)\geqq \sin x(1+\sqrt{2}+\cos x)\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

(ⅱ)　$(\sin x+\cos x)({\displaystyle \frac{7}{4}}-\sin x\cos x)\leqq {\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{\frac{3}{2}}(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

【２】　$24$時間診療業務を休みなく行う病院において，$40$日間で$1$万個使用される医療材料$\mathrm{A}$について考える．$\mathrm{A}$の使用頻度は常に一定であり，$1$日の時間帯や曜日による変動は全くないものとする．

　さて，病院における在庫管理では，「品切れ」が起きないこと，「コスト」をできるだけ低くすること，この$2$つが肝要である．医療材料$\mathrm{A}$の保管費は，この保管期間に比例し，$1$個につき$10$日間で$1$円である．また，納入業者に$\mathrm{A}$を注文すれば，注文量の多少に関わらず，品物が届いた時点で$200$円の事務費がかかる．なお，担当者は$\mathrm{A}$の在庫量$y$の時間的推移を把握しており，品切れになる直前という最適のタイミングで，注文した量が届くものとする．

　われわれは，保管費と事務費の和$S$を最小にするような注文の仕方を求める．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$の在庫は最初$1$万個あったとする．そして注文する量は毎回一定として，$x$で表す．このとき，時間$t$による在庫量$y$の変化を表すグラフを，横軸を時間の$t$軸とする座標平面上に図示せよ．（図示する際には，適当な$x$の値を自ら認定すること．）

　以下，$1$回目の注文によって品物の届く時点以降の$y$の変化について考察する．

(2)　周期的な$y$の変動に留意して，平均在庫量を求めよ．

(3)　長期にわたる保管費，事務費の総額をそれぞれ見積もり，保管費と事務費の和$S$の「$1$日あたりの平均コスト」を求めよ．さらに，この$1$日あたりの平均コストを最小にするような$x$の値を求めよ．

【３A】　$n$は自然数を表すとして，以下の問いに答えよ．

(1)　平面を次の条件を満たす$n$個の直線によって分割する．

【どの直線もほかのすべての直線と交わり，どの$3$つの直線も$1$点で交わらない．】

　このような$n$個の直線によって作られる領域の個数を$L(n)$とすると，$L(1)=2\text{，}L(2)=4$は容易にわかる．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$L(3)\text{，}L(4)\text{，}L(5)$をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　$L(n)$の漸化式を求めよ．

(ⅲ)　$L(n)$を求めよ．

(2)　平面を次の条件を満たす$n$個の円によって分割する．

【どの円も他のすべての円と$2$点で交わり，どの$3$つの円も$1$点で交わらない．】

　このような$n$個の円によって作られる領域の個数を$D(n)$とすると，$D(1)=2$は容易にわかる．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$D(2)\text{，}D(3)\text{，}D(4)$をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　$D(n)$の漸化式を求めよ．

(ⅲ)　$D(n)$を求めよ．

【３B】　$1$個のさいころを$3$回投げる．$1$回目，$2$回目，$3$回目に出る目の数をそれぞれ $X_1\text{，}{X}_2\text{，}{X}_3$として，$3$つの確率変数

$Y=4X_1+X_2\text{，}{Z}_1=2X_1+3X_2\text{，}{Z}_2=2X_1+3X_3$

を定める．$1$から$6$までの目は等確率で出るものとするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　数の集合$\mathrm{U}=\{x|x\text{は整数かつ}5\leqq x\leqq 30\}$を全体集合として，

$\mathrm{S}=\left\{x\right|x\in \mathrm{U}\text{かつ}P(Y=x)>{\displaystyle \frac{1}{36}}\}$

$T=\left\{x\right|x\in \mathrm{U}\text{かつ}P(Z_1=x)>{\displaystyle \frac{1}{36}}\}$

を定める．部分集合$\mathrm{S}$と$\mathrm{T}$の要素をそれぞれ列挙せよ．

(2)　$Y$の値が$\mathrm{S}$に属するという事象を$\mathrm{A}$とし，$i=1\text{，}2$に対して$Z_i$の値が$\mathrm{T}$に属するという事象を${\mathrm{B}}_i$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$i=1\text{，}2$に対し，等式$P(\mathrm{A}\cap {\mathrm{B}}_i)=P(\mathrm{A})P({\mathrm{B}}_i)$が成り立つかどうか，それぞれ調べよ．

(ⅱ)　条件付き確率$P_{\mathrm{A}}({\mathrm{B}}_1\cap {\mathrm{B}}_2)$の定義式をかき，その値を求めよ．