2012　名古屋大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面上に，点$(0,1)$を通り，傾きが$h$の直線$l$がある．

(1)　$xy$平面において，$l$に関して点$\mathrm{P}(a,b)$と対称な点を$\mathrm{Q}(s,t)$とする．このとき，$a\text{，}b\text{，}h$を用いて$s\text{，}t$を表せ．ただし，点$\mathrm{P}(a,b)$は$l$上にないとする．

(2)　$xy$平面において，$l$に関して原点$\mathrm{O}(0,0)$と対称な点を$\mathrm{A}$とする．$h$が$-1\leqq h\leqq 1$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{OA}$の長さの最大値と最小値を求めよ．

(3)　$h$が$-1\leqq h\leqq 1$の範囲を動くときの点$\mathrm{A}$の軌跡を$C$とする．$C$と直線$y=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$n$を$2$以上の整数とする．$1$から$n$までの整数が$1$つずつ書かれている$n$枚のカードがある．ただし，異なるカードには異なる整数が書かれているものとする．この$n$枚のカードから，$1$枚のカードを無作為に取り出して，書かれた整数を調べてからもとに戻す．この試行を$3$回繰返し，取り出したカードに書かれた整数の最小値を$X\text{，}$最大値を$Y$とする．次の問に答えよ．ただし，$j$と$k$は正の整数で，$j+k\leqq n$を満たすとする．また，$s$は$n-1$以下の正の整数とする．

(1)　$X\geqq j$かつ$Y\leqq j+k$となる確率を求めよ．

(2)　$X=j$かつ$Y=j+k$となる確率を求めよ．

(3)　$Y-X=s$となる確率を$P(s)$とする．$P(s)$を求めよ．

(4)　$n$が偶数のとき，$P(s)$を最大にする$s$を求めよ．

【３】　$m$を正の奇数とする．

(1)　${(x-1)}^{101}$の展開式における$x^2$の項の係数を求めよ．

(2)　$p$を正の整数とするとき，${(p-1)}^m+1$は$p$で割り切れることを示せ．

(3)　$r$を正の整数とし，$s=3^{r-1}m$とする．$2^s+1$は$3^r$で割り切れることを示せ．

【１】　$a$を正の定数とし，$xy$平面上の曲線$C$の方程式を$y=x^3-a^{2}x$とする．

(1)　$C$上の点$\mathrm{A}(t,t^3-a^{2}t)$における$C$の接線を$l$とする．$l$と$C$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．ただし，$t$は$0$でないとする．

(2)　$b$を実数とする．$C$の接線のうち$xy$平面上の点$\mathrm{B}(2a,b)$を通るものの本数を求めよ．

(3)　$C$の接線のうち点$\mathrm{B}(2a,b)$を通るものが$2$本のみの場合を考え，それらの接線を$l_1\text{，}{l}_2$とする．ただし，$l_1$と$l_2$はどちらも原点$(0,0)$を通らないとする．$l_1$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$l_2$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1\geqq S_2$として，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$の値を求めよ．

【２】　$f_0(x)=x{e}^x$として，正の整数$n$に対して，

$f_n(x)={\displaystyle {\int }_{-x}^x}{f}_{n-1}(t)dt+{f_{n-1}}^{\prime }(x)$

により実数$x$の関数$f_n(x)$を定める．

(1)　$f_1(x)$を求めよ．

(2)　$g(x)={\displaystyle {\int }_{-x}^x}(at+b)e^{t}dt$とするとき，定積分${\displaystyle {\int }_{-e}^e}g(x)dx$を求めよ．ただし，実数$a\text{，}b\text{，}c$は定数とする．

(3)　正の整数$n$に対して，$f_{2n}(x)$を求めよ．

【４】　$m\text{，}p$を$3$以上の奇数とし，$m$は$p$で割り切れないとする．

(1)　${(x-1)}^{101}$の展開式における$x^2$の項の係数を求めよ．

(2)　${(p-1)}^m+1$は$p$で割り切れることを示せ．

(3)　${(p-1)}^m+1$は$p^2$で割り切れないことを示せ．

(4)　$r$を正の整数とし，$s=3^{r-1}m$とする．$2^s+1$は$3^r$で割り切れることを示せ．