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2012-10483-0101
2012 名古屋工業大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 3 次関数
f⁡( x)= x3- (1+ 2⁢cos⁡ θ) ⁢x2 +(1 +2⁢cos ⁡θ) ⁢x-1
について,以下の問いに答えよ.ただし, 0≦θ< 2⁢π とする.
(1) 方程式 f⁡ (x) =0 の実数解を求めよ.
(2) 関数 f⁡ (x ) が極値をもつための θ の範囲を求めよ.
(3) 曲線 y= f⁡( x) の変曲点の x 座標を g⁡ (θ ) と表す. θ を 0≦ θ<2 ⁢π の範囲で動かしたときの g ⁡(θ ) の最大値と最小値,および,そのときの θ の値を求めよ.
2012-10483-0102
【2】 関数 f⁡ (x) =(4 ⁢x3 -5⁢x )⁢e -x2 について,以下の問いに答えよ.
(1) 関数 f⁡ (x ) の増減を調べ,極値を求めよ.
(2) 曲線 y= f⁡( x) の接線で,原点を通り,かつ傾きが正のものを求めよ.
(3) (2)で求めた接線と曲線 y= f⁡( x) で囲まれる 2 つの部分の面積の和を求めよ.
2012-10483-0103
【3】 a ,b は定数で a≠ 0 とする.自然数 n に対して,整式 (a⁢ x+b) n を x2+ 1 で割った余りを an⁢x +bn と表し,
In = ∫01 ⁡ (a⁢ x+b) nx 2+1 ⁢ dx
とおく.
(1) 行列 A は,すべての n に対して,
( an+ 1 bn+ 1 )=A ⁢( an bn )
を満たす.行列 A を求めよ.
(2) (1)で求めた行列 A に対し,
A2+ p⁢A+ q⁢E= O
となる定数 p , q を a , b を用いて表せ.ただし, E は単位行列, O は零行列である.
(3) (2)で求めた p , q に対し,定積分
In+ 2+p ⁢In +1+ q⁢In
を求めよ.
(4) a=1 ,b=- 1 のとき I 5 を求めよ.
2012-10483-0104
【4】 円周上に 4 点 A , B ,C , D が反時計回りに並んでいる.直線 AB と直線 DC の交点を E , 線分 AC と BD の交点を F とする. AB=1 , BE=3 , AE=4 であり, ▵DCF の面積は ▵ABF の面積の 4 倍である.
FA=x ,FB=y ,CE =t ,y x=u とおいて,以下の問いに答えよ.
(1) FC ,FD を x , y で表せ.
(2) t の値を求めよ.
(3) u の値を求めよ.
(4) 面積の比の値 ▵AFD ▵ABF を求めよ.