2012　名古屋工業大学　後期MathJax

【１】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{\cos x\sqrt{4{\sin }^{2}x-1}}{2{\sin }^{2}x}}({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$\alpha$とする．$\sin \alpha$の値を求めよ．

(2)　関数$g(t)=\log (t+\sqrt{t^2-1})$の導関数を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる図形の$x\geqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たす部分の面積を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$が

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{b}_1=3\text{，}$

$\left(\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& b_{n+1}\\ 0& a_{n+1}\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ 0& a_n\end{array}\right)}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められている．数列$\{c_n\}\text{，}\{d_n\}$を$c_n=\log a_n\text{，}{d}_n=\log b_n$で定める．

(1)　数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$n\geqq 4$のとき，$n^2\leqq 2^n$となることを示せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{n}{2^n}}$を求めよ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

【３】　円$C$は次の条件を満たす．

(ⅰ)　曲線$y=\log x\text{（}x>1\text{）}$と点$\mathrm{P}(t,\log t)$において接線を共有する．

(ⅱ)　$x$軸の$x>1$の部分に接する．

円$C$の中心を$\mathrm{A}\text{，}$円$C$と$x$軸の接点を$\mathrm{Q}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$のなす角を$\theta$とする．

(1)　点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(2)　$\theta ={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$となるときの$t$の値を求めよ．

(3)　$t$が$t>1$の範囲を動くとき，$\theta$のとる値の範囲を求めよ．

【４】　点$\mathrm{P}$は座標平面上にあり，コインを投げるごとに，次の規則で移動する．

　点$\mathrm{P}$が座標$(l,m)$にあるとき，コインを投げて，

・表が出れば$(l+m,m)$に移動する．

・裏が出れば$(2l,2m)$に移動する．

　点$\mathrm{P}$の最初の座標が$(4,3)$であるとして，以下の問いに答えよ．

(1)　コインを$2$回投げるとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(14,6)$となる確率を求めよ．

(2)　コインを$n$回投げて，すべて裏が出たとする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　コインを$n$回投げて，表がちょうど$k$回出たとする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(4)　コインを$n$回投げるとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標の期待値を求めよ．