2012　愛知教育大学　前期MathJax

【１】問１　円$C\text{：}{x}^2+y^2=5^2$上の点$\mathrm{P}(x,y)\text{（}t\ne 0\text{）}$における接線の方程式が

$y=-{\displaystyle \frac{s}{t}}x+{\displaystyle \frac{5^2}{t}}$

となることを示せ．

問２　円$C$の接線のうち，傾きが$7$となるものを求めよ．

【２】　$a$を実数の定数とし，関数

$y=\cos 2x-2a\cos x+a^2-2a+3$

を考える．以下の問いに答えよ．

問１　$y$の最小値が${\displaystyle \frac{1}{2}}$となるような$a$の値を求めよ．

問２　問１で求めた$a$のもとで，$y$の最小値を与える$x$の値を$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で求めよ．

【３】　座標空間内において，$2$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,1)$を端点とする線分$\mathrm{OA}\text{，}$平面$z=2$上に点$(0,0,2)$を中心とする半径$1$の円周$C\text{，}$および$C$上の動点$\mathrm{P}$があるとする．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　直線$\mathrm{PA}$と$xy$平面との交点を${\mathrm{A}}^{\prime }$とするとき，${\mathrm{A}}^{\prime }$の軌跡の方程式を求めよ．

問２　線分${\mathrm{OA}}^{\prime }$が動いてできる$xy$平面上の図形を描け．

問３　問２の図形の面積を求めよ．

【４】　座標空間内において，$4$点$(2,0,0)\text{，}(2,1,0)\text{，}(-2,1,0)\text{，}(-2,0,0)$を頂点とする長方形を$x$軸のまわりに回転してできる円柱と，原点を中心とする半径$2$の球との共通部分の体積を求めよ．

【５】　$a$を実数の定数とし，$5$次多項式$f(x)=x^5-{\displaystyle \frac{5}{3}}(a^2+1)x^3+5a^{2}x$を考える．ただし，$a>1$とする．

問１　$5$次方程式$f(x)=0$が$5$つの異なる実数解をもつための$a$の条件を求めよ．

問２　$f(1)+f(a)$が${(a+1)}^3$で割り切れるかどうかを調べよ．

問３　$a$が問１の条件を満たすとき，$|f(1)|>|f(a)|$となるための$a$の範囲を求めよ．

問４　$a$が問１と問３の条件を満たすとき，$5$次方程式$f(x)=-c=0$が$5$つの異なる実数解をもつための実数$c$の範囲を求めよ．

【６】　$0\leqq a\leqq 1$をみたす$a$に対して$A=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{1-a^2}& -a\\ a& \sqrt{1-a^2}\end{array}\right)$とし，$A$の表す$1$次変換によって，平面上の点$(1,1)$が，直線$y=\sqrt{3}x$上の点に移されるとする．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　$a$の値を求めよ．

　以下，$a$は問１で求めた値とする．

問２　$A^2$を求めよ．

問３　$A^{2012}$を求めよ．

【７】　座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(2,0)\text{，}\mathrm{B}(3,0)$について，$\angle \mathrm{PAB}=3\angle \mathrm{POB}$となる$y>0$の領域にある点$\mathrm{P}$を考える．$r=\mathrm{OP}\text{，}\theta =\angle \mathrm{POB}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

問１　$r$を$\theta$を用いて表せ．

問２　$\underset{\theta \to +0}{\lim }r$を求めよ．

問３　点$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)$で表すとき，$y$を$x$の式で表せ．

志望別問題選択一覧

数学選修・数学専攻・情報選修・情報専攻・教育科学専攻（数学）　【３】，【４】，【５】，【６】，【７】必答

理科選修，理科専攻，自然科学コース，教育科学専攻（理科）　【１】，【２】，【３】必答

技術専攻・情報科学コース，教育科学専攻（技術）　【１】，【２】必答，【３】，【４】から１題選択