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2012-10490-0201
2012 愛知教育大学 後期
教育(数学専修,数学専攻,情報専攻)学部
易□ 並□ 難□
【1】 2 つの数列 { an }, { bn } が次の 2 つの条件を満たしているとする.
[Ⅰ] a1 =1 ,b 1=1
[Ⅱ] an +1= an+ bn , bn +1= 2⁢a n+b n ( n=1 , 2 ,3 , ⋯ )
問1 n=2 ,3 , 4 ,5 について an ,bn の値を求めよ.
問2 an≧ n であることを数学的帰納法で示せ.
問3 an 2 と bn2 の間に成り立つ関係式を推測して求め,それを証明せよ.
問4 limn→ ∞ bna n の値を求めよ.
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【2】 媒介変数表示された曲線 x =t-sin ⁡t ,y= 1-cos⁡ t ( 0≦t≦ 2⁢π ) について,以下の問いに答えよ.
問1 曲線上の点 A における接線の傾きが 3 であるとき,点 A の座標を求めよ.
問2 曲線上の点 B における接線の傾きが tan ⁡β ( - π2< β< π2 ) であるとき,点 B の座標を β を用いて求めよ.
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【3】問1 放物線 y =x2 上の点 A ( 3 2 , 3 4 ) においてこの放物線に接する円のうち,その中心が y 軸上にある円を C とする. C の方程式を求めよ.
問2 円 C と放物線 y =x2 によって囲まれる領域のうち,円 C の外側の部分を S とする. S の面積を求めよ.
問3 S を y 軸の周りに 1 回転して得られる回転体の体積を求めよ.
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【4】問1 座標平面上に 2 点 A ( 1,0 ), B (- 1,0 ) をとる.条件 AP ×BP= 1 (長さの積)を満たす点 P ( x,y ) (ただし x >0 )の軌跡を極方程式
r=f⁡ (θ )
の形にして求めよ.また,点 P が存在する θ の範囲を - π 2< θ< π2 の範囲で求めよ.
問2 問1で得られた方程式を利用して,解答用紙の指定された枠内に θ =0 ,± π 12 ,± π8 ,± π 6 に対応する点 P をとり,それらを結んで P ( x,y ) の軌跡のおおよその形を問1で求めた θ の範囲に注意して描け.
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【5】 関数
y=4⁢ (4x +4 -x )-34 ⁢(2 x+2 -x )+81
を考える.以下の問いに答えよ.
問1 2x+ 2-x =t とおくとき, y を t の式で表せ.
問2 y の最小値,およびそのときの x の値を求めよ.