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2012 愛知教育大学 後期

教育(数学専修,数学専攻,情報専攻)学部

易□ 並□ 難□

【1】  2 つの数列 { an } { bn } が次の 2 つの条件を満たしているとする.

[Ⅰ]  a1 =1 b 1=1

[Ⅱ]  an +1= an+ bn bn +1= 2a n+b n n=1 2 3

問1  n=2 3 4 5 について an bn の値を求めよ.

問2  an n であることを数学的帰納法で示せ.

問3  an 2 bn2 の間に成り立つ関係式を推測して求め,それを証明せよ.

問4  limn bna n の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 媒介変数表示された曲線 x =t-sin t y= 1-cos t 0t 2π について,以下の問いに答えよ.

問1 曲線上の点 A における接線の傾きが 3 であるとき,点 A の座標を求めよ.

問2 曲線上の点 B における接線の傾きが tan β ( - π2< β< π2 ) であるとき,点 B の座標を β を用いて求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】問1 放物線 y =x2 上の点 A ( 3 2 , 3 4 ) においてこの放物線に接する円のうち,その中心が y 軸上にある円を C とする. C の方程式を求めよ.

問2 円 C と放物線 y =x2 によって囲まれる領域のうち,円 C の外側の部分を S とする. S の面積を求めよ.

問3  S y 軸の周りに 1 回転して得られる回転体の体積を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】問1 座標平面上に 2 A ( 1,0 ) B (- 1,0 ) をとる.条件 AP ×BP= 1 (長さの積)を満たす点 P ( x,y ) (ただし x >0 )の軌跡を極方程式

r=f (θ )

の形にして求めよ.また,点 P が存在する θ の範囲を - π 2< θ< π2 の範囲で求めよ.

問2 問1で得られた方程式を利用して,解答用紙の指定された枠内に θ =0 ± π 12 ± π8 ± π 6 に対応する点 P をとり,それらを結んで P ( x,y ) の軌跡のおおよその形を問1で求めた θ の範囲に注意して描け.

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易□ 並□ 難□

【5】 関数

y=4 (4x +4 -x )-34 (2 x+2 -x )+81

を考える.以下の問いに答えよ.

問1  2x+ 2-x =t とおくとき, y t の式で表せ.

問2  y の最小値,およびそのときの x の値を求めよ.

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