2012　三重大学　前期MathJax

【１】　実数$x$に対し，$[x]$を$x$以下の最大の整数とする．たとえば，$[2]=2\text{，}\left[{\displaystyle \frac{7}{5}}\right]=1$である．数列$\{a_k\}$を

$a_k=\left[{\displaystyle \frac{3k}{5}}\right]\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5$を求めよ．

(2)　$a_{k+5}=a_k+3\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(3)　自然数$n$に対して，${\displaystyle \sum _{k=1}^{5n}}{a}_k$を求めよ．

【２】　座標平面上で$y=x+1$で表される直線を$l$とする．また，$4$点$\mathrm{A}(-1,1)\text{，}\mathrm{B}(0,-2)\text{，}\mathrm{C}(3,1)\text{，}\mathrm{D}(1,3)$をとる．以下の問いに答えよ．

(1)　領域$R_1=\{(x,y)|y>x+1\}$と$R_2=\{(x,y)|y\leqq x+1\}$を考える．$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$はそれぞれ，領域$R_1\text{，}{R}_2$のどちらにあるか答えよ．

(2)　$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点$\mathrm{E}(x,x+k)$をとる．$\mathrm{E}$と直線$l$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．

(3)　四角形$\mathrm{ABCD}$の周または内部で，直線$l$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．

(4)　点$\mathrm{P}(x,y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．

【３】　表の出る確率が$p\text{（}0<p<1\text{）}$のコインを投げ，表が出れば$5$点を得，裏が出れば$1$点を得るものとする．コインを投げ続けるとき以下の問いに答えよ．

(1)　$n$回投げたときの得点の取りうる値をすべて求めよ．また，得点がそれぞれの値となる確率を求めよ．

(2)　$10$回コインを投げて，得点が$14$点以下になる確率を求めよ．

【４】　$h$を$0<h<1$を満たす実数とし，

$f(x)=x^2+2(1-{\displaystyle \frac{1}{h}})x+1\text{，}g(x)=-x^2+2(1+{\displaystyle \frac{1}{h}})x+1$

とする．

(1)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S(h)$を求めよ．

(2)　(1)で定めた図形を含む，各辺が$x$軸または$y$軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積を$T(h)$とする．$h$が$0$に限りなく近くとき，${\displaystyle \frac{T(h)}{S(h)}}$の極限値を求めよ．

【４‐１】　媒介変数$\theta$を用いて$x=2\cos \theta \text{，}y=3\sin \theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と表される曲線がある．

(1)　この曲線について$\theta$を消去して，$x\text{，}y$の方程式を求め，その概形をかけ．

(2)　曲線上の点$\mathrm{P}(2\cos \theta ,3\sin \theta )$での接線の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた接線と$x$軸，$y$軸とで作られる三角形の面積$S$を$\theta$の関数として表せ．

【４‐２】　$h$を$0<h<1$を満たす実数とし，

$f(x)=|x^2-{\displaystyle \frac{2}{h}}x|+2x+1\text{，}g(x)=-|x^2-{\displaystyle \frac{2}{h}}x|+2x+1$

とする．

(1)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S(h)$を求めよ．

(2)　(1)で定めた図形を含む，各辺が$x$軸または$y$軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積を$T(h)$とする．$h$が$0$に限りなく近くとき，${\displaystyle \frac{T(h)}{S(h)}}$の極限値を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=x-e^{-x}$の増減を調べよ．

(2)　実数$\alpha$で$\alpha -e^{-\alpha }=0$を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，この$\alpha$は，$0<\alpha <1$を満たすことを示せ．

(3)　(2)の$\alpha$と正の整数$n$に対して，

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\alpha }}(x{e}^{-nx}+\alpha x^{n-1})dx$

とおく．$I_n$を$\alpha$の多項式として表せ．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{I}_n$を求めよ．

【１】　実数$x$に対し，$\left[x\right]$を$x$以下の最大の整数とする．すなわち，$[x]$は整数であり$[x]\leqq x<[x]+1$を満たすとする．たとえば，$[2]=2\text{，}\left[{\displaystyle \frac{5}{3}}\right]=1$である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　すべての実数$a$とすべての整数$m$に対し，$[a+m]=[a]+m$が成り立つことを示せ．

(2)　数列$\{a_k\}$を$a_k=\left[{\displaystyle \frac{2k}{3}}\right]\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$と定める．自然数$n$に対して，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

【２】　$\angle \mathrm{AOB}$が直角，$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=2:1$である三角形$\mathrm{OAB}$がある．$s$は$0<s<1$とし，辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{OP}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{AQ}$の延長と$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$が直交するとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$s$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=t\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$とおくとき，$t$の値を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{OQR}$の面積と三角形$\mathrm{BPQ}$の面積の比を，最も簡単な整数の比で表せ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=\left|x\right|-e^{-x}$の増減を調べよ．

(2)　実数$\alpha$で$\left|\alpha \right|-e^{-\alpha }=0$を満たすものがひとつだけ存在することを示せ．さらに，この$\alpha$は，$0<\alpha <1$を満たすことを示せ．

(3)　(2)の$\alpha$と正の整数$n$に対して，

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\alpha }}(x{e}^{-nx}+\alpha x^{n-1})dx$

とおく．$I_n$を$\alpha$の多項式として表せ．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{I}_n$を求めよ．