2012　三重大学　後期MathJax

【１】　定数$a\text{（}0\leqq a<1\text{）}$に対して，関数$f(x)=a\cos x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の値が極小となる$x$に対して，$\cos x$を$a$の式で表せ．

(2)　$a=0$のとき，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(3)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$y=f(x)$の増減を調べ，グラフをかけ．

【２】　$0<a_1<1\text{，}{a}_{n+1}=2a_n(1-a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$について以下の問いに答えよ．

(1)　$0<a_2\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$であることを示せ．

(2)　$2$以上のすべての自然数$n$に対して，$0<a_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$となることを示せ．

(3)　$2$以上のすべての自然数$n$に対して，$a_n\leqq a_{n+1}$となることを示せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\alpha$として，$\alpha$を求めよ．

【３】　負でない実数$a$に対し，その小数部分を$⟨a⟩$で表す．たとえば，$⟨12.345⟩=0.345$である．負でない実数$x$に対し，$f(x)=⟨\sqrt{2}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}⟩$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=0$となる$x$を$0\leqq x\leqq 1$の範囲で求めよ．

(2)　$f(f(x))=0$となる$x$を$0\leqq x\leqq 1$の範囲で求めよ．

【４】　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，$y=\sin x$と$y=\sqrt{3}\cos x$ではさまれた図形を$D$とする．すなわち，

である．以下の問いに答えよ．

(1)　$D$の面積を求めよ．

(2)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【１】　座標平面上で$y=-ax+a\text{（}a>0\text{）}$で表される直線を$l\text{，}y=a^{2}x$で表される直線を$m$とし，$2$直線の交点を$\mathrm{A}(x_1,y_1)$とする．$0<x<x_1$の範囲で，直線$l$上の点$\mathrm{B}\text{，}$直線$m$上の点$\mathrm{C}$が移動し，点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$および$y$軸上の点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$を頂点とする長方形$\mathrm{BCDE}$の面積を$S$とする．

(1)　$a$を一定とした場合，$S$がとりうる最大値を$a$を用いて示せ．

(2)　$a$が変化する場合（$a>0$），$S$の最大値と，その場合の$a$の値を求めよ．

【２】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，

$\angle \mathrm{A}=60\mathrm{°}\text{，}\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\mathrm{CD}=5$

とする．

(1)　線分$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．

(2)　$\sin \angle \mathrm{BDA}$の値を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{ABD}$の面積を求めよ．

【３】　関数

$y=-x^2+2x+8$

$y=|x^2-4|$

がある．

(1)　$2$つの関数のグラフを$1$つの座標上に示せ．

(2)　$2$つの関数のグラフの交点を求め，その交点を結ぶ直線の方程式を示せ．

(3)　$2$つの関数のグラフに囲まれた部分の面積を求めよ．