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2012-10521-0201
2012 滋賀大学 後期
経済学部
易□ 並□ 難□
【1】 c を正の定数とし, f⁡( x)= c⁢x 2+2 とする.放物線 C1: y=f⁡ (x ) の点 A ( a,f⁡ (a ) ) における接線 l は,点 B ( p,q ) において円 C2: x2+ y2= 1 と接する. a>0 , p<0 , q>0 とするとき,次の問いに答えよ.
(1) l の方程式を a , c を用いて表せ.
(2) l の方程式を p , q を用いて表せ.
(3) C1 と l , および y 軸で囲まれる部分の面積を S 1 とし, l と y 軸,および原点と B を結ぶ直線で囲まれる三角形の面積を S 2 とする. S1 と S 2 を a , c を用いてそれぞれ表せ.
(4) S1 =S2 となるとき, a と c の値をそれぞれ求めよ.
2012-10521-0202
【2】 a1 =1 ,a n+1 = 7⁢a n-4 9⁢a n-5 ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) によって定められる数列 { an } について,次の問いに答えよ.
(1) an+ 1-α = an -αβ ⁢( an- α)+ γ を満たす定数 α , β ,γ の値を求めよ.
(2) 一般項 a n を求めよ.
2012-10521-0203
【3】 ボタンを 1 回押すごとに,赤,白,青のいずれかの色の玉が 1 個,それぞれ 13 の確率で出てくる機械がある. 2 つの空の箱 A と B を用意し,最初にボタンを 1 回押して出てきた玉を A に入れる.以後,「ボタンを 1 回押し,出てきた玉が,前回箱に入れた玉と違う色ならばその玉を前回と同じ箱に入れ,同じ色ならば別の箱に入れる」という試行を n 回繰り返す.このとき,次の問いに答えよ.
(1) n=1 のとき, A に玉が 2 個入っている確率を求めよ.
(2) n=2 のとき, A に玉が 3 個入っている確率を求めよ.
(3) n=3 のとき, A に入っている玉の個数の期待値を求めよ.
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【4】 次の連立不等式
{ logx ⁡y+2 ⁢{ 1+log x⁡( 2-x) }⁢ logy⁡ x-logx ⁡( 2-x) ≦3 ⋯ ① logx ⁡y≧0 ⋯ ②
が表す x y 平面上の領域を D とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) X=log 10⁡x , X′= log10⁡ (2- x) ,Y =log10 ⁡y とおく.不等式 ① を X , Y′ , Y を用いて表せ.
(2) 0<x <1 のとき, Y のとり得る値の範囲を X , X′ を用いて表せ.
(3) D を図示せよ.