2012　滋賀医科大学　前期MathJax

【１】　$xyz$空間内の$\overrightarrow{0}$でないベクトル$\overrightarrow{p}=(x,y,z)$を考え，$\overrightarrow{p^{\prime }}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{p}}{\left|\overrightarrow{p}\right|}}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{p^{\prime }}$の大きさを求めよ．

(2)　$\overrightarrow{p}$と$x$軸，$y$軸，$z$軸の正の向きとのなす角をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とおくとき，$\overrightarrow{p^{\prime }}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$を示せ．

(3)　$\overrightarrow{p}=(3,4,12)$とする．頂点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(a_1,a_2,a_3)\text{，}\mathrm{B}(b_1,b_2,b_3)$の$▵\mathrm{OAB}$について，$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\text{，}\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$はともに$\overrightarrow{p}$に垂直とする．$▵\mathrm{OAB}$の面積を$S$とおくとき，$xy$平面上の点$\mathrm{O}\text{，}{\mathrm{A}}^{\prime }(a_1,a_2,0)\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }(b_1,b_2,0)$が作る$▵{\mathrm{OA}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$の面積を$S$を用いて表せ．

【２】　$p$を定数とする．初項$a_1=1$の数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を次のように定める．

$a_{n+1}-{\displaystyle \frac{a_n}{2}}$は整数，かつ$-{\displaystyle \frac{1}{2}}<a_{n+1}-p\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$．

(1)　$p=0$のとき，数列$\{a_n\}$の極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(2)　$p=1$のとき，$b_n=a_{2n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定まる数列$\{b_n\}$の極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

(3)　$p=1$のとき，数列$\{a_n\}$は収束するかどうか，理由を付けて答えよ．

【３】　正の整数$n$に対して，$f_n(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(-1)}^{k+1}({\displaystyle \frac{x^{2k-1}}{2k-1}}+{\displaystyle \frac{x^{2k}}{2k}})$を考える．

(1)　導関数${f_n}^{\prime }(x)$を求めよ．ただし和の記号$\sum$を用いずに表せ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1+x}{1+x^2}}dx$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(1)$を求めよ．

【４】　赤色，青色，黄色の箱を各一箱，赤色，青色，黄色の球を各一個用意して，各球を球と同じ色の箱に入れる．この状態からはじめて，次の操作を$n$回（$n\geqq 1$）行う．

（操作）　三つの箱から二つの箱を任意に選び，その二つの箱の中の球を交換する．

(1)　赤色の球が赤色の箱に入っている確率を求めよ．

(2)　箱とその中の色が一致している箱の個数の期待値を求めよ．

(3)　赤色の球が赤色の箱に入っている事象と，青色の球が青色の箱に入っている事象は，互いに独立かどうか，理由を付けて答えよ．