2012　京都大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　$2$つの曲線$y=x^4$と$y=x^2+2$とによって囲まれる図形の面積を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　$n$を$3$以上の整数とする．$1$から$n$までの番号をつけた$n$枚の札の組が$2$つある．これら$2n$枚の札をよく混ぜ合わせて，札を$1$枚ずつ$3$回取り出し，取り出した順にその番号を$X_1\text{，}{X}_2\text{，}{X}_3$とする．$X_1<X_2<X_3$となる確率を求めよ．ただし一度取り出した札は元に戻さないものとする．

【２】　正四面体$\mathrm{OABC}$において，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$をそれぞれ辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$上にとる．ただし$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$は四面体$\mathrm{OABC}$の頂点とは異なるとする．$▵\mathrm{PQR}$が正三角形ならば，$3$辺$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{QR}\text{，}\mathrm{RP}$はそれぞれ$3$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$に平行であることを証明せよ．

【３】　実数$x\text{，}y$が条件$x^2+xy+y^2=6$を満たしながら動くとき

$x^{2}y+x{y}^2-x^2-2xy-y^2+x+y$

がとりうる値の範囲を求めよ．

【４】　次の命題(p)，(q)のそれぞれについて，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．

(p)　正$n$角形の頂点から$3$点を選んで内角の$1$つが$60\mathrm{°}$である三角形を作ることができるならば，$n$は$3$の倍数である．

(q)　$▵\mathrm{ABC}$と$▵{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$において，$\mathrm{AB}={\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}\mathrm{BC}={\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}\angle A=\angle A^{\prime }$ならば，これら$2$つの三角形は合同である．

【５】　次の条件(＊)を満たす正の実数の組$(a,b)$の範囲を求め，座標平面上に図示せよ．

(＊)　$\cos a\theta =\cos b\theta$かつ$0<\theta \leqq \pi$となる$\theta$がちょうど$1$つある．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$a$が正の実数のとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{(1+a^n)}^{\frac{1}{n}}$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\log \sqrt{1+x^2}dx$の値を求めよ．

【４】(1)　$\sqrt[3]{2}$が無理数であることを証明せよ．

(2)　$P(x)$は有理数を係数とする$x$の多項式で，$P(\sqrt[3]{2})=0$を満たしているとする．このとき$P(x)$は$x^3-2$で割り切れることを証明せよ．

【５】　次の命題(p)，(q)のそれぞれについて，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．

(p)　正$n$角形の頂点から$3$点を選んで内角の$1$つが$60\mathrm{°}$である三角形を作ることができるならば，$n$は$3$の倍数である．

(q)　$▵\mathrm{ABC}$と$▵\mathrm{ABD}$において，$\mathrm{AC}<\mathrm{AD}$かつ$\mathrm{BC}<\mathrm{BD}$ならば，$\angle C>\angle D$である．

【６】　さいころを$n$回投げて出た目を順に$X_1\text{，}{X}_2\text{，}\cdots \text{，}{X}_n$とする．さらに

$Y_1=X_1\text{，}{Y}_k=X_k+{\displaystyle \frac{1}{Y_{k-1}}}\text{（}k=2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

によって$Y_1\text{，}{Y}_2\text{，}\cdots \text{，}{Y}_n$を定める．

${\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}\leqq Y_n\leqq 1+\sqrt{3}$

となる確率$p_n$を求めよ．