2012　京都教育大学　前期MathJax

【１】　$1$辺の長さが$a$の正八面体について，次の問に答えよ．

(1)　表面積$S$を求めよ．

(2)　体積$V$を求めよ．

(3)　この正八面体に内接する球の半径$r$を求めよ．

【２】　次の各組の数の大小を比較せよ．

(1)　${\log }_{2}1000\text{，}10$

(2)　${\log }_{2}100\text{，}6.5$

(3)　${\log }_{0.5}10\text{，}3{\log }_{0.5}2$

【３】　自然数$6$は$6=1+2+3$と$2$つ以上の連続する自然数の和として表すことができる．同様に，$15$は$15=4+5+6$と表すことができる．ただし，このような表し方は$1$通りとは限らない．実際，$15$は$15=1+2+3+4+5$とも表すことができる．次の問に答えよ．

(1)　$3$つの連続する自然数の和として表すことができる数を，小さいものから順に$5$個書け．なお，答えのみ書くこと．

(2)　$4$つの連続する自然数の和として表すことができる数を，小さいものから順に$5$個書け．なお，答えのみ書くこと．

(3)　$5$つの連続する自然数の和として表すことができる数を，小さいものから順に$5$個書け．なお，答えのみ書くこと．

(4)　自然数$1024$は，$2$つ以上の連続する自然数の和として表すことができないことを証明せよ．

【４】　空間において成分表示された$3$つのベクトルを

$\overrightarrow{a}=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}},1,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}})\text{，}\overrightarrow{b}=(1,0,1)\text{，}\overrightarrow{c}=(1,0,-1)$

とする．これに対して原点$\mathrm{O}$に関する位置ベクトルが

$\overrightarrow{a}+(\cos t)\overrightarrow{b}+(\sin t)\overrightarrow{c}$

である点$\mathrm{P}$を考える．次の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{c}$をそれぞれ計算せよ．

(2)　$t$が$0$から$2\pi$まで動くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$の最大値，最小値とそのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．

【５A】　関数$f(x)=x^2-2$に対して，$y=f(x)$のグラフ上の点$(a,f(a))$における接線と$x$軸との交点の$x$座標を$g(a)$とおく．ただし，$a>0$とする．また$x_1=4$とし，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して$x_{x+1}=g(x_n)$とおく．次の問に答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフ上の点$(4,14)$におけるグラフの接線の方程式を求めよ．

(2)　どのような自然数$n$に対しても$x_n>0$であることを数学的帰納法によって証明せよ．

(3)　$x_3$を求めよ．

(4)　どのような自然数$n$に対しても$x_{n+1}\geqq \sqrt{2}$であることを，相加平均と相乗平均の大小関係を使って証明せよ．

【５B】　$2$つの関数

$f(x)=x^2+1\text{，}g(x)=f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)+{\displaystyle \frac{1}{2}}{f}^{″}(1){(x-1)}^2$

について，次の問に答えよ．

(1)　導関数の定義にしたがって$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$g(x)$を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq 1$において常に$f(x)\leqq g(x)$であることを証明せよ．

(4)　$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$と$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．