2012　京都工芸繊維大学　前期MathJax

2012-10550-0101

2012　京都工芸繊維大学　前期

配点25%

易□　並□　難□

【１】　 $k$ は正の実数とする． $x y$ 平面において， $x$ 軸および $2$ つの曲線

$C_{1} : y = k \cos x (0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}) ， C_{2} : y = \frac{1}{k} \sin x (0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})$

で囲まれた図形の面積を $S (k)$ とする．

(1)　 $C_{1}$ と $C_{2}$ の交点の $x$ 座標を $α$ とするとき， $\cos α$ および $\sin α$ を $k$ を用いて表せ．

(2)　 $S (k)$ を $k$ を用いて表せ．

(3)　 $k$ が $k > 0$ の範囲を動くときの $S (k)$ の最大値を求めよ．

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配点25%

易□　並□　難□

【２】　 $x y z$ 空間内に四面体 $PABC$ がある． $▵ ABC$ は $x y$ 平面内にある鋭角三角形とし，頂点 $P$ の $z$ 座標は正とする． $P$ から $x y$ 平面に下ろした垂線を $PH$ とし， $H$ は $▵ ABC$ の内部にあるとする． $H$ から直線 $AB ， BC ， CA$ に下ろした垂線をそれぞれ $H K_{1} ， H K_{2} ， H K_{3}$ とする．そのとき $P K_{1} ⊥ AB ， P K_{2} ⊥ BC ， P K_{3} ⊥ CA$ である． $∠ P K_{1} H = α_{1} ， ∠ P K_{2} H = α_{2} ， ∠ P H_{3} H = α_{3}$ とし， $▵ PAB ， ▵ PBC ， ▵ PCA$ の面積をそれぞれ $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ とする．

(1)　 $▵ HAB$ の面積を $α_{1} ， S_{1}$ を用いて表せ．

(2)　 $3$ つのベクトル $\vec{l_{1}} ， \vec{l_{2}} ， \vec{l_{3}}$ は，大きさがそれぞれ $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ であり，向きがそれぞれ平面 $PAB ，$ 平面 $PBC ，$ 平面 $PCA$ に垂直であるとする．ただし， $\vec{l_{1}} ， \vec{l_{2}} ， \vec{l_{3}}$ の $z$ 成分はすべて正とする．このとき， $\vec{l_{1}} + \vec{l_{2}} + \vec{l_{3}}$ の $z$ 成分は $▵ ABC$ の面積に等しいことを示せ．

(3)　 $3$ 辺 $AB ， BC ， CA$ の長さの比 $AB : BC : CA$ を， $α_{1} ， α_{2} ， α_{3} ， S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ を用いて表せ．

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配点25%

易□　並□　難□

【３】　 $a$ を正の定数とする．次の等式が成り立つとき， $\log a$ の値を求めよ．

$\frac{\int_{1}^{e} \log (a x) d x}{\int_{1}^{e} x d x} = \int_{1}^{e} \frac{\log (a x)}{x} d x$

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配点25%

易□　並□　難□

【４】　 $p$ を自然数とし， $r$ を $1$ より大きい実数とする．数列 $a_{n} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ は次の条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)をすべて満たしている．

(ⅰ)　 $a_{n} = r^{n - 1} + \frac{1}{r^{n - 1}} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

(ⅱ)　 $a_{2} = p$

(ⅲ)　 $a_{3} ≦ 13$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数 $n$ について， $a_{n + 2} = p a_{n + 1} - a_{n}$ が成り立つことを証明せよ．

(2)　 $p$ および $r$ の値を求めよ．

(3)　 $m$ を自然数とする． $2 m$ 個の数 $a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{2 m}$ のうち， $3$ の倍数であるものすべての和を求めよ．

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