2012　京都工芸繊維大学　後期MathJax

【１】　$a$を実数とする．すべての実数$x$で定義された関数$f(x)=|x|(e^{2x}+a)$は$x=0$で微分可能であるとする．

(1)　$a$および$f^{\prime }(0)$の値を求めよ．

(2)　導関数$f^{\prime }(x)$は$x=0$で連続であることを示せ．

(3)　右側極限$\underset{x\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{x}}$を求めよ．さらに，$f^{\prime }(x)$は$x=0$で微分可能でないことを示せ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間において$3$つのベクトル

$\overrightarrow{a}=(1,2,3)\text{，}\overrightarrow{b}=(2,1,0)\text{，}\overrightarrow{c}=(0,2,0)$

を考える．$2$つの連続関数$f(s)\text{，}g(s)\text{（}0\leqq s\leqq 1\text{）}$は$f(s)>0\text{，}g(s)>0\text{（}0\leqq s\leqq 1\text{）}$を満たすとする．各実数$s\text{（}0\leqq s\leqq 1\text{）}$に対して，$3$点${\mathrm{P}}_s\text{，}{\mathrm{Q}}_s\text{，}{\mathrm{R}}_s$を

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_s}=s\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{P}}_s{\mathrm{Q}}_s}=f(s)\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{P}}_s{\mathrm{R}}_s}=g(s)\overrightarrow{c}$

で定める．$s$が$0\leqq s\leqq 1$の範囲を動くとき，三角形$▵{\mathrm{P}}_s{\mathrm{Q}}_s{\mathrm{R}}_s$の周および内部が通過してできる立体を$V$で表す．

(1)　$t$を実数とする．平面$z=t$と立体$V$が共有点をもつような$t$の範囲を求めよ．その範囲にある$t$に対して，平面$z=t$で立体$V$を切ったときの断面積$A(t)$を$t$の式で表せ．

(2)　関数$f(s)\text{，}g(s)$が次の式で与えられるとき，$V$の体積を求めよ．

$f(s)=1+s\text{，}g(s)={\displaystyle \frac{1}{1+s^2}}\text{（}0\leqq s\leqq 1\text{）}$

【３】　$0<a<1$とする．表の出る確率が$a$であり，裏の出る確率が$1-a$であるようなコインがある．$xy$平面において点${\mathrm{A}}_0(1,0)$を考える．$2$以上の自然数$n$に対し，$n$個の点$A_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$を次の規則(＊)で順に定める．

(＊)　$\{\begin{array}{l}\text{点}{\mathrm{A}}_{k-1}\text{が定まったとき，このコインを投げて，}\\ \text{(ⅰ)表が出れば，}{\mathrm{A}}_{k-1}\text{を原点を中心として反時計まわりに}{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{だけ回転した点を}{\mathrm{A}}_k\text{とし，}\\ \text{(ⅱ)裏が出れば，}{\mathrm{A}}_{k-1}\text{を通り直線}y=\sqrt{3}x\text{に垂直な直線と，直線}y=\sqrt{3}x\text{との交点を}{\mathrm{A}}_k\text{とする．}\end{array}$

　次の事象$E_n$の起こる確率を$p_n$で表す．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p_2\text{，}{p}_3\text{，}{p}_4$を求めよ．

(2)　$n\geqq 5$のとき，$p_n$を求めよ．

【４】　$2$つの数列$S_N\text{（}N=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{），}{I}_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を次の式で定める．

$S_N={\displaystyle \sum _{k=1}^N}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{(2k-1)!}}$

$I_0={\displaystyle {\int }_0^1}\cos xdx\text{，}{I}_n={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{{(x-1)}^{2n}}{(2n)!}}\cos xdx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，$I_n$を$I_{n-1}$を用いて表せ．

(2)　$N=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，関係式$S_N=I_0+{(-1)}^{N-1}{I}_N$が成り立つことを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=0$が成り立つことを示し，極限$\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_N$を求めよ．