Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2012年度一覧へ
大学別一覧へ
大阪大学一覧へ
2012-10561-0101
2012 大阪大学 前期
文系(文,人間科,法,経済,
医(保健(看護学)),外国語学部)
配点率30%
易□ 並□ 難□
【1】 1 個のさいころを 3 回続けて投げるとき, 1 回目に出る目を l , 2 回目に出る目を m , 3 回目に出る目を n で表し, 3 次式
f⁡( x)= x3+ l⁢x2 +m⁢ x+n
を考える.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) が (x+ 1) 2 で割り切れる確率を求めよ.
(2) 関数 y= f⁡( x) が極大値も極小値もとる確率を求めよ.
2012-10561-0102
文系(文,人間科,法,経済, 医(保健(看護学)),外国語学部)
理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術))共通
配点率文系35%,理系20%
【2】 次の 2 つの条件(ⅰ),(ⅱ)をみたす自然数 n について考える.
(ⅰ) n は素数ではない.
(ⅱ) l ,m を 1 でも n でもない n の正の約数とすると,必ず
|l -m| ≦2
である.
このとき,以下の問いに答えよ.
(1) n が偶数のとき,(ⅰ),(ⅱ)をみたす n をすべて求めよ.
(2) n が 7 の倍数のとき,(ⅰ),(ⅱ)をみたす n をすべて求めよ.
(3) 2≦n≦ 1000 の範囲で,(ⅰ),(ⅱ)をみたす n をすべて求めよ.
2012-10561-0103
配点率35%
【3】 xy 平面上で考える.不等式 y< -x2 +16 の表す領域 D とし,不等式 | x-1| +| y| ≦1 の表す領域を E とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 領域 D と領域 E をそれぞれ図示せよ.
(2) A( a,b) を領域 D に属する点とする.点 A (a ,b) を通り傾きが -2 ⁢a の直線と放物線 y =-x2 +16 で囲まれた部分の面積を S ⁡(a ,b) とする. S⁡( a,b ) を a , b を用いて表せ.
(3) 点 A (a ,b) が領域 E を動くとき, S⁡( a,b ) の最大値を求めよ.
2012-10561-0104
理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),
歯,薬,工,基礎工学部)
配点率20%
【1】 a>0 とする. C1 を曲線 x 2+ y2a 2= 1 ,C2 を直線 y= 2⁢a⁢ x-3⁢ a とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 点 P が C 1 上を動き,点 Q が C 2 上を動くとき,線分 PQ の長さの最小値を f ⁡(a ) とする. f⁡( a) を a を用いて表せ.
(2) 極限値 lim a→∞ ⁡f⁡ (a ) を求めよ.
2012-10561-0105
【3】 xyz 空間に 3 点 O (0 ,0, 0) ,A (1 ,0, 1) ,B (0 ,3, 1) がある.平面 z =0 に含まれ,中心が O , 半径が 1 の円を W とする.点 P が線分 OA 上を,点 Q が円 W の周および内部を動くとき, OR→ =OP →+ OQ→ をみたす点 R 全体がつくる立体を V A とおく.同様に点 P が線分 OB 上を,点 Q が円 W の周および内部を動くとき, OR→ =OP →+ OQ→ をみたす点 R 全体がつくる立体を V B とおく.さらに V A と V B の重なり合う部分を V とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 平面 z= cos⁡θ (0 ≦θ≦ π 2 ) による立体 V の切り口の面積を θ を用いて表せ.
(2) 立体 V の体積を求めよ.
2012-10561-0106
【4】 5 次式 f⁡ (x) =x5 +p⁢x 4+q⁢ x3+ r⁢x2 +s⁢x +t( p, q, r, s, s は実数)について考える.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 数列 f⁡ (0) ,f⁡ (1) ,f⁡( 2) ,f⁡( 3) ,f⁡( 4) が等差数列であることと,
f⁡( x)= x⁢( x-1) ⁢(x -2) ⁢(x -3) ⁢(x -4) +l⁢x +m
( l , m は実数)と書けることは互いに同値であることを示せ.
(2) f⁡( x) は(1)の条件をみたすものとする. α を実数, k を 3 以上の自然数とする. k 項からなる数列
f⁡( α) ,f⁡ (α +1) ,f⁡( α+2) ,⋯, f⁡( α+k- 1)
が等差数列となるような α , k の組をすべて求めよ.
2012-10561-0107
【5】 1 個のさいころを 3 回続けて投げるとき, 1 回目に出る目を l , 2 回目に出る目を m , 3 回目に出る目を n で表すことにする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 極限値
limx→ -1⁡ l⁢x 2+m⁢ x+n x+1
が存在する確率を求めよ.
(2) 関数
f⁡( x)= l ⁢x2 +m⁢ x+n x+1
が, x>-1 の範囲で極値をとる確率を求めよ.