2012　大阪大学　前期MathJax

【１】　$1$個のさいころを$3$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目を$l\text{，}2$回目に出る目を$m\text{，}3$回目に出る目を$n$で表し，$3$次式

$f(x)=x^3+l{x}^2+mx+n$

を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$が${(x+1)}^2$で割り切れる確率を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$が極大値も極小値もとる確率を求めよ．

【２】　次の$2$つの条件(ⅰ)，(ⅱ)をみたす自然数$n$について考える．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$n$が偶数のとき，(ⅰ)，(ⅱ)をみたす$n$をすべて求めよ．

(2)　$n$が$7$の倍数のとき，(ⅰ)，(ⅱ)をみたす$n$をすべて求めよ．

(3)　$2\leqq n\leqq 1000$の範囲で，(ⅰ)，(ⅱ)をみたす$n$をすべて求めよ．

【３】　$xy$平面上で考える．不等式$y<-x^2+16$の表す領域$D$とし，不等式$|x-1|+|y|\leqq 1$の表す領域を$E$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　領域$D$と領域$E$をそれぞれ図示せよ．

(2)　$\mathrm{A}(a,b)$を領域$D$に属する点とする．点$\mathrm{A}(a,b)$を通り傾きが$-2a$の直線と放物線$y=-x^2+16$で囲まれた部分の面積を$S(a,b)$とする．$S(a,b)$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{A}(a,b)$が領域$E$を動くとき，$S(a,b)$の最大値を求めよ．

【１】　$a>0$とする．$C_1$を曲線$x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}=1\text{，}{C}_2$を直線$y=2ax-3a$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が$C_1$上を動き，点$\mathrm{Q}$が$C_2$上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を$f(a)$とする．$f(a)$を$a$を用いて表せ．

(2)　極限値$\underset{a\to \infty }{\lim }f(a)$を求めよ．

【３】　$xyz$空間に$3$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,\sqrt{3},1)$がある．平面$z=0$に含まれ，中心が$\mathrm{O}\text{，}$半径が$1$の円を$W$とする．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OA}$上を，点$\mathrm{Q}$が円$W$の周および内部を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点$\mathrm{R}$全体がつくる立体を$V_{\mathrm{A}}$とおく．同様に点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OB}$上を，点$\mathrm{Q}$が円$W$の周および内部を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点$\mathrm{R}$全体がつくる立体を$V_{\mathrm{B}}$とおく．さらに$V_{\mathrm{A}}$と$V_{\mathrm{B}}$の重なり合う部分を$V$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　平面$z=\cos \theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$による立体$V$の切り口の面積を$\theta$を用いて表せ．

(2)　立体$V$の体積を求めよ．

【４】　$5$次式$f(x)=x^5+p{x}^4+q{x}^3+r{x}^2+sx+t\text{（}p\text{，}q\text{，}r\text{，}s\text{，}s$は実数）について考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　数列$f(0)\text{，}f(1)\text{，}f(2)\text{，}f(3)\text{，}f(4)$が等差数列であることと，

$f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+lx+m$

（$l\text{，}m$は実数）と書けることは互いに同値であることを示せ．

(2)　$f(x)$は(1)の条件をみたすものとする．$\alpha$を実数，$k$を$3$以上の自然数とする．$k$項からなる数列

$f(\alpha )\text{，}f(\alpha +1)\text{，}f(\alpha +2)\text{，}\cdots \text{，}f(\alpha +k-1)$

が等差数列となるような$\alpha \text{，}k$の組をすべて求めよ．

【５】　$1$個のさいころを$3$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目を$l\text{，}2$回目に出る目を$m\text{，}3$回目に出る目を$n$で表すことにする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　極限値

$\underset{x\to -1}{\lim }{\displaystyle \frac{l{x}^2+mx+n}{x+1}}$

が存在する確率を求めよ．

(2)　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{l{x}^2+mx+n}{x+1}}$

が，$x>-1$の範囲で極値をとる確率を求めよ．