2012　大阪大学　後期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{n{a}_n}{2+n(a_n+1)}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$\underset{m\to \infty }{\lim }m{\displaystyle \sum _{n=m+1}^{2m}}{a}_n$を求めよ．

【２】　$\theta$を実数とし，行列$P(\theta )\text{，}J\text{，}E$を以下で定める．

$P(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\text{，}J=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

$Q=P\left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)$とおく．$n\text{，}k$を自然数とする．$n$個の$Q$と$k$個の$J$からなる順列

$A_1\text{，}{A}_2\text{，}\cdots \text{，}{A}_{n+k}$

で行列の積$A_1{A}_2\cdots A_{n+k}$が$E$と等しいものの個数を$N(n,k)$とする．

(1)　$JP(\theta )=P(-\theta )J$を示せ．

(2)　$N(200,2)$を求めよ．

(3)　$N(10,4)$を求めよ．

【３】　$2$つの関数を

$f(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}(t+{\displaystyle \frac{1}{t}})\text{，}g(t)=t^2-2\log t$

で定める．実数$t$が$t>0$の範囲を動くとき，点$(f(t),g(t))$が$xy$平面上を描く曲線を$C$とする．

(1)　$t>1$のとき$g(t)>g\left({\displaystyle \frac{1}{t}}\right)$であることを示せ．

(2)　$s$を$1$以上の実数とする．直線$x={\displaystyle \frac{1}{2}}(s+{\displaystyle \frac{1}{s}})$と曲線$C$の共有点の個数を求めよ．

(3)　$a$を$1$より大きい実数とする．直線$x={\displaystyle \frac{1}{2}}(a+{\displaystyle \frac{1}{a}})$と曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【４】　$a$を$1$以上の実数とする．$x$についての方程式

$(4x^3-1)(x-a)-3a^2+1=0$

の最大の実数解を$s(a)$とし，$s(a)$の小数部分を$r(a)$とする．すなわち$s(a)$以下の最大の整数を$[s(a)]$とするとき，等式$r(a)=s(a)-[s(a)]$によって$r(a)$を定める．

(1)　$a<s(a)<a+1$を示せ．

(2)　自然数$n$に対し$b_n=s(n)r(n)$とおく．$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

(3)　次の条件(P)をみたす実数$c$の範囲を求めよ．

(P)　すべての自然数$n$に対して$s(n)r(n)<c$が成り立つ．